Montrer que x |-> (exp(x)-1)/x admet un prolongement C^oo en 0
Les dérivées nièmes sont pas calculables, je vois pas vraiment
Et quand on fait son DLn(0), on tombe sur le DLn-1(0) de exp

Un message s'est perdu

Oups mauvaise manip
En faisant le DLn tu retrouves quelque chose qui ressemble à exp.
Tu as toujours un terme constant (type 1 + x + ...).
Tu peux ensuite dériver ta série et voir qu'il y a toujours ce terme constant qui reste, donc la limite à gauche et à droite des dérivées est identique, donc ta fonction est Cinf en 0

Raisonnement de physicien cependant.

Alors :
$e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

Donc, $e^{x} - 1 = x + o(x)$

Ce qui revient à dire que $e^{x} - 1 \sim x$, soit $\frac{e^{x}-1}{x} \sim 1$ en 0, tu as donc ta limite.

Le 31 janvier 2017 à 19:48:20 GauloisesBrunes a écrit :
Oups mauvaise manip
En faisant le DLn tu retrouves quelque chose qui ressemble à exp.
Tu as toujours un terme constant (type 1 + x + ...).
Tu peux ensuite dériver ta série et voir qu'il y a toujours ce terme constant qui reste, donc la limite à gauche et à droite des dérivées est identique, donc ta fonction est Cinf en 0

Raisonnement de physicien cependant.

J'étais vraiment tenté de faire ça, mais le prof nous a dit qu'on peux pas dériver de DL, du coup c'est raté

Le 31 janvier 2017 à 19:49:00 Silkow a écrit :
Alors :
$e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

Donc, $e^{x} - 1 = x + o(x)$

Ce qui revient à dire que $e^{x} - 1 \sim x$, soit $\frac{e^{x}-1}{x} \sim 1$ en 0, tu as donc ta limite.

Ouais mais je veux qu'elle soir C^oo pas juste dérivable

GhostlnTheShell Merde, j'avais compris $C^{0}$, j'avais pas capté que tu disais $C^{\infty}$

"dérivées nièmes sont pas calculables"

Formule de Leibniz ?

La dérivée nième serait pas de la forme

$$f^{(n)}(x) = \frac{e^xP_n(x) + (-1)^{n+1}n!}{x^{n+1}}$$
avec $P_n$ un polynôme de degré $n$ ?

Nan mais après j'arrive pas à lever la forme indéterminée pour l'évaluer en 0.

Du coup, je serais tenter d'utiliser les séries entières :

$f(x):=\frac{e^{x}-1}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$, soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{(n+1)!}

De là, tu dérives terme à terme ta série :

$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k-1)!}\frac{x^{n-k}}{(n+1)!}$, qui converge.

J'ai sûrement fait des erreurs dans mes indices, vu que je fais autre chose en même temps et que c'est pas top pour la concentration.
Mais le raisonnement y est.

Après, si tu n'as pas vu les séries entières, tu peux toujours t'en sortir via les polynômes de Taylor.

Prauron : Faut espérer que non, sans ça $\frac{P_{n}(x)}{x^{n+1}} \sim \frac{1}{x}$, et alors $\frac{e^{x}P_{n}(x)}{x^{n+1}} \sim \frac{e^{x}}{x}$, ce qui diverge en 0. Plus un terme qui converge, on est dans la panade.

EDIT : je raconte de la merde, on se retrouve face à une forme indéterminée qu'il sera bien compliqué d'élucider sans HR sur $P_{n}$

C est développable en série entière donc c est C infini est un argument expéditif qui ne marche pas en sup

Le 31 janvier 2017 à 20:30:51 Prauron a écrit :
La dérivée nième serait pas de la forme

$$f^{(n)}(x) = \frac{e^xP_n(x) + (-1)^{n+1}n!}{x^{n+1}}$$
avec $P_n$ un polynôme de degré $n$ ?

Je trouve un polynôme en 1/X et pas en X

Le 31 janvier 2017 à 20:36:54 Silkow a écrit :
Du coup, je serais tenter d'utiliser les séries entières :

$f(x):=\frac{e^{x}-1}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$, soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{(n+1)!}

De là, tu dérives terme à terme ta série :

$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k-1)!}\frac{x^{n-k}}{(n+1)!}$, qui converge.

J'ai sûrement fait des erreurs dans mes indices, vu que je fais autre chose en même temps et que c'est pas top pour la concentration.
Mais le raisonnement y est.

Après, si tu n'as pas vu les séries entières, tu peux toujours t'en sortir via les polynômes de Taylor.

Peut être, mais j'qi jamais fait les séries entières du coup je pense pas qu'il faille faire comme ça.

Le 31 janvier 2017 à 20:42:07 Limitx a écrit :
C est développable en série entière donc c est C infini est un argument expéditif qui ne marche pas en sup

Oui, mais en adaptant la démo des séries entières via Taylor, on s'en sort.

Le 31 janvier 2017 à 20:36:54 Silkow a écrit :
Du coup, je serais tenter d'utiliser les séries entières :

$f(x):=\frac{e^{x}-1}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$, soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{(n+1)!}

De là, tu dérives terme à terme ta série :

$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k-1)!}\frac{x^{n-k}}{(n+1)!}$, qui converge.

J'ai sûrement fait des erreurs dans mes indices, vu que je fais autre chose en même temps et que c'est pas top pour la concentration.
Mais le raisonnement y est.

Après, si tu n'as pas vu les séries entières, tu peux toujours t'en sortir via les polynômes de Taylor.

Ce qui est ce que j'ai proposé plus haut, plagiat

Le 31 janvier 2017 à 20:43:19 GhostlnTheShell a écrit :

Peut être, mais j'qi jamais fait les séries entières du coup je pense pas qu'il faille faire comme ça.

C'est bien pour ça que je t'ai rajouté à la fin :

Après, si tu n'as pas vu les séries entières, tu peux toujours t'en sortir via les polynômes de Taylor.

(En utilisant le même raisonnement, sachant que lorsque tu as $f(x) = P_{n}(x) + o(x^{n})$, alors $f'(x) = P'_{n}(x) + o(x^{n-1})$

Le 31 janvier 2017 à 20:43:52 GauloisesBrunes a écrit :

Le 31 janvier 2017 à 20:36:54 Silkow a écrit :
Du coup, je serais tenter d'utiliser les séries entières :

$f(x):=\frac{e^{x}-1}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$, soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{(n+1)!}

De là, tu dérives terme à terme ta série :

$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k-1)!}\frac{x^{n-k}}{(n+1)!}$, qui converge.

J'ai sûrement fait des erreurs dans mes indices, vu que je fais autre chose en même temps et que c'est pas top pour la concentration.
Mais le raisonnement y est.

Après, si tu n'as pas vu les séries entières, tu peux toujours t'en sortir via les polynômes de Taylor.

Ce qui est ce que j'ai proposé plus haut, plagiat

J'ai vu le "Raisonnement de physicien cependant. " à la fin, j'me suis dit que j'allais mettre du propre dans tout ça.

GauloisesBrunes : C'est pas pour dire, mais avec de la rigueur, on se sent matheux.

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mais le prof nous a dit qu'on peux pas dériver de DL

En effet, mon prof m'aurait détruit si j'avais dérivé un DL.

Par contre je vois pas comment t'as un polynôme en 1/x.

Certes