Déjà je trouve suspect que l'on te demande si la fonction est continue sur D puis si elle est continue sur une partie de D alors que de toute évidence la fonction est continue sur D.

Il y a toujours ce problème lorsqu'on parle de continuité autre part que sur un ouvert.

f n'est pas continue sur D pour la topologie usuelle sur R (car D n'y est pas ouvert) mais :
f est continue pour la topologie usuelle induite sur D
f est continue pour la définition epsilonesque

Cela dit ça n'a de toute manière pas trop d'intérêt de la déclarer continue sur D...

Si elle est continue sur A et sur B je crois pas que ça signifie qu'elle le soit sur A union B
C'est soit sur A, soit sur B. Mais si yu considères les deux en même temps ça marche plus (je crois que c'est justement parce que A union B n'est pas un intervalle mais jsais plus)

Après je répète ce que j'ai déjà entendu jsais pas si c'est correct

Quelle est ta définition de "être continu sur A union B" ?