Salut !
Je me pose deux trois questions depuis tout à l'heure, je me demandais si l'un d'entre vous pourrait m'éclairer.

Intuitivement, quand on commence à étudier les probabilités, on a envie de dire que si l'on effectue une expérience aléatoire et que la probabilité d'un événement est 0, alors cet événement ne peut pas arriver. De même, on a envie de dire que si la probabilité d'un événement est 1, alors cet événement arrivera à tous les coups.
Il s'avère que c'est faux, il suffit d'imaginer le tirage d'un entier positif au hasard pour s'en convaincre.

Mais du coup comment on définit un évenement dont la probabilité de 1, et un événement dont la probabilité est de 0 ?

Pour la probabilité de 0, j'avais pensé à "Un événement A a une probabilité 0 de se réaliser si et seulement si lorsqu'on répète l'expérience aléatoire une infinité de fois, l'événement A peut ne se produire qu'un nombre fini de fois".
Non seulement je sais pas si c'est correct, mais en plus de ça je sais pas si c'est la définition la plus simple qu'on puisse trouver.
Pour la probabilité de 1 j'ai tout simplement pas la moindre idée de comment expliquer à quoi ça correspond.

Des idées ?

Il s'avère que c'est faux, il suffit d'imaginer le tirage d'un entier positif au hasard pour s'en convaincre.

Précise un peu ce point, notamment le genre de loi que tu utilises dans ce contexte, y'a potentiellement des trucs fins à discuter.

Pour la probabilité de 0, j'avais pensé à "Un événement A a une probabilité 0 de se réaliser si et seulement si lorsqu'on répète l'expérience aléatoire une infinité de fois, l'événement A peut ne se produire qu'un nombre fini de fois".

Dis comme ça c'est pas suffisant, si en N lancers t'as sqrt(N) réussites, asymptotiquement, t'as envie de dire que la proba est nulle.

Le 08 novembre 2015 à 21:03:17 Hachino a écrit :

Il s'avère que c'est faux, il suffit d'imaginer le tirage d'un entier positif au hasard pour s'en convaincre.

Précise un peu ce point, notamment le genre de loi que tu utilises dans ce contexte, y'a potentiellement des trucs fins à discuter.

Pour la probabilité de 0, j'avais pensé à "Un événement A a une probabilité 0 de se réaliser si et seulement si lorsqu'on répète l'expérience aléatoire une infinité de fois, l'événement A peut ne se produire qu'un nombre fini de fois".

Dis comme ça c'est pas suffisant, si en N lancers t'as sqrt(N) réussites, asymptotiquement, t'as envie de dire que la proba est nulle.

Tu prends la loi uniforme, chaque événement a la même probabilité 1/C d'arriver où C est le cardinal de l'univers. Bon, ça c'est la définition pour le cardinal fini, mais du coup je le prolonge avec un cardinal infini.
Bon, du coup en principe l'expérience ne peut ni ne pourra jamais être réalisée par un ordinateur ou un humain...

Dis comme ça c'est pas suffisant, si en N lancers t'as sqrt(N) réussites, asymptotiquement, t'as envie de dire que la proba est nulle.

Bien vu, je me doutais que ma définition était bidon, mais je voyais pas en quoi

Tu prends la loi uniforme, chaque événement a la même probabilité 1/C d'arriver où C est le cardinal de l'univers. Bon, ça c'est la définition pour le cardinal fini, mais du coup je le prolonge avec un cardinal infini.

Ouais, en gros tu fais tendre C vers l'infini, super. Donc chaque élément a une proba nulle d'arriver, donc ta proba est la proba nulle...

Dire "je prolonge" comme on dit "abracadabra", ça marche pas, tu devrais le savoir.

Oui il faudrait que tu précises ce que tu veux dire par "au hasard" parce qu'il y a plein de manière de tirer au hasard un entier naturel (et le hasard uniforme n'en fait pas partie).
Par contre tu peux penser à "je tire au hasard uniforme un réel entre 0 et 1". La proba d'obtenir 0.235465 est nulle mais ça n'est pas "impossible", puisque l'événement impossible c'est l'ensemble vide.

Le problème de ta "définition" (j'aurais plutôt envie de dire "caractérisation") c'est que ça se mord la queue. Tu dis que l'événement "peut" se réaliser un nombre fini de fois, mais il faut définir ce "peut" en termes de probas, et là tu vas retomber sur le même problème.

Ce qu'on peut dire, c'est que si un événement issu d'une expérience aléatoire est de proba non nulle, alors, si on répète une infinité de fois l'expérience (de façon indépendante), la probabilité que l'événement se réalise une infinité de fois est de 1 (cf https://fr.wikipedia.org//wiki/Paradoxe_du_singe_savant ). Donc ta caractérisation n'est pas bête, mais le problème c'est que si tu utilises ce résultat, tu retombes sur le même problème avec la proba 1...

Mais t'inquiète tout ça va s'éclaircir, au prix d'un peu d'abstraction, dès que tu feras de la théorie de la mesure.

Le 08 novembre 2015 à 21:17:59 Hachino a écrit :

Tu prends la loi uniforme, chaque événement a la même probabilité 1/C d'arriver où C est le cardinal de l'univers. Bon, ça c'est la définition pour le cardinal fini, mais du coup je le prolonge avec un cardinal infini.

Ouais, en gros tu fais tendre C vers l'infini, super. Donc chaque élément a une proba nulle d'arriver, donc ta proba est la proba nulle...

Dire "je prolonge" comme on dit "abracadabra", ça marche pas, tu devrais le savoir.

Oui, les événements élémentaires ont effectivement une proba nulle d'arriver, mais si tu considères des ensembles infinis alors les probas peuvent varier.
Genre la proba de choisir un nombre pair serait de 1/2
Je sais bien que les prolongations c'est toujours un peu louche, mais je trouve pas de moyen de décrire l'expérience d'une autre façon

Tu ne pourras pas décrire cette expérience, parce qu'il n'y a pas moyen de tirer uniformément sur tous les entiers.
- d'une part la proba d'obtenir un entier doit être de 1
- d'autre part la proba d'une réunion d'événements disjoints est la somme des probas
Ces deux choses sont incompatibles si toutes les probas sont identiques.

Sauf que les probas, du moins telles qu'on les apprend en L3, doivent forcément vérifier une propriété d'additivité dénombrable (en clair la proba d'une union au plus dénombrable d'ensemble disjoints est égale à la (somme de la) série des probas élémentaires) qui implique qu'alors la proba que ton choix d'entier retourne un entier est... nulle (alors que par définition elle doit égale à 1).

T'as des subtilités à base de mesures finiement additives, mais c'est pour plus tard et seulement dans un cursus spécialisé.

Oui il faudrait que tu précises ce que tu veux dire par "au hasard" parce qu'il y a plein de manière de tirer au hasard un entier naturel (et le hasard uniforme n'en fait pas partie).

Par contre tu peux penser à "je tire au hasard uniforme un réel entre 0 et 1". La proba d'obtenir 0.235465 est nulle mais ça n'est pas "impossible", puisque l'événement impossible c'est l'ensemble vide.

Oui voila, c'est bien ça que j'avais en tête. Par contre je vois pas trop pourquoi il n'est pas possible de tirer de façon uniforme parmi les entiers naturel, si on peut le faire sur un ensemble indénombrable comme [0;1]

J'avais bien remarqué que ma définition n'était pas claire, c'est pour ça que j'ai préféré voir ce que vous en pensiez, vu que je sentais qu'elle n'était pas franchement convenable.
Pour la théorie de la mesure, si je me trompe pas c'est prévu au prochain semestre, pour le moment je fais uniquement des cours de probas franchement basiques

"Par contre je vois pas trop pourquoi il n'est pas possible de tirer de façon uniforme parmi les entiers naturel, si on peut le faire sur un ensemble indénombrable comme [0;1] "

La différence, c'est que N est dénombrable, et [0,1] ne l'est pas. Or une proba vérifie la propriété d'additivité dénombrable, mais on peut pas dire que la proba d'une réunion non dénombrable d'événements est la somme des probas.

Ah oui, exact je n'avais pas fait attention à l'incohérence...
Moi qui ne supportais pas les probas et les stats au lycée, je commence à trouver ça de plus en plus intéressant. Je vais peut-être bien me renseigner sur les cursus que t'évoques, Hachino

C'est bien.

Bon Prauron, tu t'occupes de lui ?

Viens mon petit, on va faire des statistiques.

Trouvez une chambre pour faire vos cochonneries.

Si ça n'en tenais qu'à moi, les statisticiens n'auraient pas le droit de se marier, en France.

Le 08 novembre 2015 à 22:36:59 Prauron a écrit :
Viens mon petit, on va faire des statistiques.

je fais justement un mini exposé de vulgarisation sur les statistiques demain

Devant qui ? Tu vas parler de quoi ?

Devant le reste des élèves de ma classe, mais je suis censé me comporter comme si j'étais face à des mecs niveau collège.
Je vais des trucs assez basiques, je parle du paradoxe de Simpson, de Condorcet, et des problèmes d'oubli de la fréquence de base.
D'ailleurs je sais plus si c'est toi qui parlais du livre "Statistiques, méfiez-vous !" sur un autre topic, mais je l'ai emprunté à la bu et c'est ça qui m'a donné l'idée du thème

Je crois que c'était Amandin qui parlait de ce livre. Tu es en quelle année ?