Bonjour à tous, je sais que ça peut paraître un peu bizarre comme question, ou comportant une réponse évidente, mais tant qu'à faire je vous pose la question. Je vais prendre l'exemple de x=pi, mais ça se prolonge à n'importe quel nombre irrationnel (les rationnels étant un peu plus évident).

Déjà, et vous me direz si je me trompe, on a l'égalité suivante
e^pi = e^3 * racine[10ème](e^1) * racine[10²ème](e^4) * racine[10^3ème](e^1) * ...

avec le produit répété à l'infini.

Je sais la définition n'est pas très rigoureuse (et l'erreur provient peut-être de la là, mais j'aimerais bien voir en quoi)

Moi de mon côté, je me suis souvent dit "on définit e^x comme étant exp(x) puisqu'en soit e^x n'a pas de sens pour par exemple x=pi".

Mais en y réfléchissant, e^pi a le sens que je lui ai donné plus haut.
Du coup, comment, en voyant les choses comme ça, se fait-il qu'on ait e^pi = exp(pi) avec exp la réciproque du ln, la primitive de 1/x s'annulant en 1 ?

Merci de vos réponses

Ouais je suis sûr je fais une erreur monumentale mais c'est plutôt un coup de tête, une réflexion comme ça donc dites-moi si je dis n'importe quoi

bonjour, plus simple :
exp(pi) = somme de k=0 à +oo pi^k / k!
cordialement

Rien compris.

Le 27 août 2015 à 17:59:20 MarineRouge a écrit :
bonjour, plus simple :
exp(pi) = somme de k=0 à +oo pi^k / k!
cordialement

Ouais, pourquoi pas, mais du coup, est-ce que ça explique en quoi cette série est égale au produit infini que j'ai décrit plus haut ?

non mais de toute façon j'ai l'impression que tu tournes en rond à cause de la notion d'irrationnel
et comme mes VDD on comprend pas où tu veux en venir surtout cette phrase " on définit e^x comme étant exp(x) puisqu'en soit e^x n'a pas de sens pour par exemple x=pi "

Il vient d'où ton produit infini ?
Si j'ai bien compris à la base t'as défini l'exponentielle comme la réciproque du ln, donc exp(pi) est parfaitement défini : c'est l'unique réel >0 dont l'image par ln est égale à pi...

Le 27 août 2015 à 18:03:57 Morphisme a écrit :
Il vient d'où ton produit infini ?
Si j'ai bien compris à la base t'as défini l'exponentielle comme la réciproque du ln, donc exp(pi) est parfaitement défini : c'est l'unique réel >0 dont l'image par ln est égale à pi...

il reprend les décimales de Pi pardis (le produit infini lol)

Le 27 août 2015 à 18:00:32 HighlightReel a écrit :
Rien compris.

Arrondissons pi à 3.1416.

On a donc pi = 3 + 0.1 + 0.04 + 0.001 + 0.0006.

Donc e^pi = e^(3+0.1 + 0.04 + 0.001 + 0.0006)
= e^3 * e^0.1 * e^0.04 * e^0.001 * e^0.0006
= e^3 * e^(1/10) * e^(4/10²) * e^(1/10^3) * e^(6/10^4)
= e^3 * e^(1/10) * [e^4]^(1/10²) * e^(1/10^3) * [e^6]^(1/10^4)
= e^3 * racine[10ème](e) * racine[10²ème](e^4) * racine[10^3ème](e) * racine[10^4ème](e).

Maintenant, je fais le même raisonnement, mais sans arrondir pi.

Dans le cas où je ne me trompe pas sur cette égalité, comme se fait-il (comment le prouver) que ce produit infini soit égal à la série décrite par MarineRouge ?

Le 27 août 2015 à 18:05:19 MarineRouge a écrit :

Le 27 août 2015 à 18:03:57 Morphisme a écrit :
Il vient d'où ton produit infini ?
Si j'ai bien compris à la base t'as défini l'exponentielle comme la réciproque du ln, donc exp(pi) est parfaitement défini : c'est l'unique réel >0 dont l'image par ln est égale à pi...

il reprend les décimales de Pi pardis (le produit infini lol)

MORT
DE
RIRE

non mais ta définition sert à rien et ça se démontre en 2 sec
j'ai juste donné le développement en série entière de la fonction exponentielle, qui est développable en série entière sur R
dans ton cas ton produit peut s'écrire comme l'expo d'une somme, genre exp (somme infinie des décimales de Pi) , donc forcément t'as l'égalité ...

Le 27 août 2015 à 18:09:05 Morphisme a écrit :

Le 27 août 2015 à 18:05:19 MarineRouge a écrit :

Le 27 août 2015 à 18:03:57 Morphisme a écrit :
Il vient d'où ton produit infini ?
Si j'ai bien compris à la base t'as défini l'exponentielle comme la réciproque du ln, donc exp(pi) est parfaitement défini : c'est l'unique réel >0 dont l'image par ln est égale à pi...

il reprend les décimales de Pi pardis (le produit infini lol)

MORT
DE
RIRE

Y'a quoi de drôle ?

bah disons qu'on peut pas faire plus pauvre en terme de définition

Le 27 août 2015 à 18:10:24 MarineRouge a écrit :
non mais ta définition sert à rien et ça se démontre en 2 sec
j'ai juste donné le développement en série entière de la fonction exponentielle, qui est développable en série entière sur R
dans ton cas ton produit peut s'écrire comme l'expo d'une somme, genre exp (somme infinie des décimales de Pi) , donc forcément t'as l'égalité ...

Bah bien sûr qu'elle sert puisqu'elle donne un sens à e^x sans d'abord passer par l'existence de l'exponentielle.
Oui je connais le développement en série de l'exponentielle.
Pour le produit qu'on transforme en l'exponentielle d'une somme j'ai un peu du mal à vraiment voir les étapes.
Si par exemple on le fait avec mon arrondissement ça donnerait quoi ?

Le 27 août 2015 à 18:12:20 bluepoint_ a écrit :
Il nous refait le coup du topic incompréhensible

Je me suis expliqué, si tu veux de plus ample explication sur un point en particulier n'hésite pas

Le 27 août 2015 à 18:12:17 MarineRouge a écrit :
bah disons qu'on peut pas faire plus pauvre en terme de définition

Bah à la base la définition de la puissance c'est la "simplification" de la multiplication, donc faut continuer dans cette lignée.

Le 27 août 2015 à 18:13:05 barbubabytoman a écrit :

Le 27 août 2015 à 18:10:24 MarineRouge a écrit :
non mais ta définition sert à rien et ça se démontre en 2 sec
j'ai juste donné le développement en série entière de la fonction exponentielle, qui est développable en série entière sur R
dans ton cas ton produit peut s'écrire comme l'expo d'une somme, genre exp (somme infinie des décimales de Pi) , donc forcément t'as l'égalité ...

Bah bien sûr qu'elle sert puisqu'elle donne un sens à e^x sans d'abord passer par l'existence de l'exponentielle.
Oui je connais le développement en série de l'exponentielle.
Pour le produit qu'on transforme en l'exponentielle d'une somme j'ai un peu du mal à vraiment voir les étapes.
Si par exemple on le fait avec mon arrondissement ça donnerait quoi ?

non, ça ne donne absolument pas plus de sens que de considéré e^(pi) tel quel je t'assure

Le 27 août 2015 à 18:10:25 barbubabytoman a écrit :
Y'a quoi de drôle ?

Je me suis juste dit "wtf ce produit" et j'avais pas capté que tu utilisais le fait que l'exponentielle transforme les sommes en produit, c'est tout

Ne te prends pas la tête avec la série, pas besoin.
Si tu connais e, tu peux définir facilement e^x pour x rationnel. Si x est irrationnel, il admet tout de même un développement décimal et vu que l'exponentielle est continue, exp(x) s'obtient comme la limite des exp(x_n), où x_n est le développement décimal de x jusqu'au n-ème terme. Et en calculant exp(x_n), tu obtiens bien ton produit un peu chelou (qui s'arrête au n-ème terme). La limite e^x c'est le produit infini. C'est bon ?

Le 27 août 2015 à 18:15:37 MarineRouge a écrit :

non, ça ne donne absolument pas plus de sens que de considéré e^(pi) tel quel je t'assure

Disons-le autrement pour que tu comprennes ce que je veux dire. La puissance a déjà une définition, un sens. (e*e*....*e)
On a pu l'étendre aux rationnels, en parlant de racine n-ième, etc...

Maintenant, à partir de là, on peut constater que e^pi est un produit infini de puissances rationnels déjà existantes, donc ayant déjà une définition. Comment ce e^pi et l'autre se rejoignent-t-ils ?