Salut !
J'ai fait pas mal de mathématiques financières donc je peux t'aider 
La valeur actuelle de ton capital est de 8000.
La valeur future de ton capital est de 4000 + 5000 = 9000.
La valeur future est donc composée d'un capital de 8000 (valeur de départ) et de 1000 € d'intérêts. Dans tes deux remboursements, il y a donc une partie de capital et une partie d'intérêts. En gros dans tes 4000 € et tes 5000 €, tu rembourses de l'emprunt de départ + des intérêts
Pour calculer tes intérêts, il faut appliquer ton taux au montant du capital restant à rembourser. En gros, sur les 8000 €, tu peux par exemple décider :
- de rembourser 5 500 € dans 1 an
- puis de rembourser 2 500 € dans 2 ans
Si ton taux annuel est de 5 % par exemple, tu devras donc payer :
- 5 500 x 1,05 = 5 775 € dans 1 an en guise de première annuité
- 2 500 x 1,05^2 = 2 756,25 € dans 2 ans en guise de deuxième annuité
La valeur future de ton capital, dans cet exemple, sera donc de 5 775 + 2 756,25 = 8 531,25 € (avec des données différents de ton énoncé, mais c'est un exemple). A partir de ton énoncé elle est de 9000 €.
Le but maintenant ce n'est pas d'avoir la valeur future, mais de retomber sur la valeur actuelle de 8000 € à partir des deux annuités (A1 = 4000 et A2 = 5000). Tu devras donc actualiser (avant on a capitaliser pour trouver la valeur future).
8000 = [ 4000 x (1 + t)^-1 ] + [ 5000 x (1 + t)^-2 ] ou bien
8000 = [ 4000 / (1 + t) ] + [ 5000 / (1 + t)^2 ]
Le fait de diviser par (1 + t) te permet de retomber sur ton capital de départ en "éliminant" les intérêts. Pour l'exposant 2 ou -2 on l'applique parce que l'annuité intervient en 2ème année. On doit donc ici trouver la valeur de t.
Sauf que, quand ton inconnue est ton taux d'intérêts, il n'existe malheureusement aucune méthode mathématique permettant de trouver la valeur exacte. On peut cependant effectuer une interpolation linéaire permettant de trouver une valeur approchée.
A partir de cette formule 8000 = [ 4000 / (1 + t) ] + [ 5000 / (1 + t)^2 ], on doit trouver deux valeur de t qui viennent encadrer 8000. Exemple :
Pour un taux de 8,1 %, on trouve une valeur actuelle de 7 979,04
Pour un taux de t %, on trouve une valeur actuelle de 8000,00 (c'est ce qu'on cherche)
Pour un taux de 7,7 %, on trouve une valeur actuelle de 8 024,63.
8000 est compris entre 7 979,04 et 8 024,63, donc t est donc compris entre 7,7 % et 8,1 %.
On pose, par interpolation linéaire :
(t - 8,1) / (8000 - 7979,04) = (7,7 - 8,1) / (8 024,63 - 7 979,04)
Tu fais un produit en croix, et en simplifiant tu trouves t = 7,916 environ.
On vérifie :
4000 / (1,07916) + 5000 / (1,07916)^2 = 3 706,59 + 4 293,37 = 7 999,96
soit ta valeur actuelle à 4 centimes près
A noter que j'ai ici encadré les 8000 de manière relativement proche avec les deux taux, c'est ce qui explique ce faible écart ! Si tu veux un taux plus exact, tu seras obligé d'utiliser un logiciel type Excel.
En espérant que ça t'aidera !
