Je comprends rien au Processus de Poisson est-ce que c'est grave ?

Processus de Poisson sur R+ ?

Le processus de poisson, on s'en fish.

Hachino ?

Joli jeu de mots ^^

Processus de Poisson, homogène, non homogène et ponctuel.
Je comprends même pas le principe, à quoi ça sert ?

Non mais j'aurais bien aimé, c'était bien trouvé.

Ça sert à modéliser les files d'attente et les distributions de points sur une surface, entre autres.

Ça sert à compter des événements qui se produisent aléatoirement au cours du temps.

J'arrive à faire aucun exo du TD

On suppose à partir de maintenant que (Nt)t∈R+ modélise le nombre de bus C13 qui sont passés depuis ce matin 8h. Le temps est donné en heures, et le temps 0 correspond donc à ce matin, 8h.
On prend λ=2.

Combien de bus passent, en moyenne, entre 10h et 12h ?

En gros t = 12 - 10 = 2 et lambda = 2 donc 2*2 = 4
Y a 4 bus ?

Quel est le temps moyen entre 2 bus ?

E[T] = 1/lambda = 1/2
Donc 1/2h entre deux bus ?

Ouais.

Sachant qu'à 12h, il y a exactement 10 bus sont passés depuis ce matin 8h, que vaut E[N(6)].

La réponse c'est 14 mais je sais pas pourquoi

Est-ce que c'est jusqu’à t4 = 12h y a eu 10 bus et que en moyenne y en a deux par heure si on se préoccupe pas du passé ça donne 10 + 2 + 2 = 14 ?

E(N(6)) = 2*6 = 12

E(N(6)|N(4)=10) = 14 en utilisant l'indépendance et la stationnarité des accroissements.

Ok merci, c'est ce que je pensais mais fait beaucoup plus rigoureusement.

Soit (Nt)t≥0un processus de Poisson non-homogène d'intensité
t↦1/t+1

Que vaut E[N2] ?

Je pense 2/3 car Nt suit une Pois(lambda*t) = Pois(t/t+1)
Donc N2 suit une Pois(2/3)
Donc E[N2] = 2/3 ?

Compléter cette égalité :
P(T1>t)=P(Nt=…)

là par contre je vois pas trop

P(T1>t)=P(Nt=0) je pense

C'est ca. Tu vois c'est pas dur.

Ça c'est les questions du questionnaire du cours pour nous auto tester, les exo du Td sont beaucoup plus chaud.

Alors déjà que je galère sur le questionnaire XD

On suppose maintenant que (Nt)t≥0 permet de modéliser le nombre de bus (toujours) qui passent entre 21h et 5h du matin.

Combien de bus passent, en moyenne, entre minuit et 4h du matin ?

C'est E[N7 - N3] = 1/8 ?

En tout cas, gros merci pour ton aide

Non 8, pas 1/8.

Pourquoi 8 ?

La c'est plus le même processus qu'au début:
Soit (Nt)t≥0un processus de Poisson non-homogène d'intensité
t↦1/t+1

E[N2] = 2/3 ?