Bon, j'ai d'autres petites considérations mathématiques sur la question : on peut aussi estimer l'espérance mathématique du nombre de tentatives nécessaires avant de réussir. Ce nombre représente la moyenne approximative sur un grand nombre d'expérience. Si vous faites faire le test à 1 million de personne, il leur faudra en moyenne ce nombre de tentatives pour réussir.
Donc, supposons qu'on a une probabilité p = 1 / N de réussir. Je vais utiliser 3 méthodes, de la plus intuitive à la plus rigoureuse, pour calculer l'espérance mathématique E du nombre de tentatives nécessaires.
Méthode 1 :
Si on essaye N fois, le nombre moyen de succès va être de (1 / N) * N, donc, en moyenne, 1. Ceci ne signifie pas grand chose à priori, mais si vous demandez à 1 million de joueurs de tenter d'ouvrir N fois un coffre avec une chance sur N d'obtenir l'objet voulu, en moyenne chacun va en obtenir 1 environ. C'est la loi des grand nombres, d'autant plus vraie qu'on réalise l'expérience souvent. Certains vont peut être n'en obtenir aucune, certains peut-être en auront N, mais au total vous en aurez environ 1 million. On peut donc présentir, intuiter, que E = N. Mais ce n'est pas une démonstration rigoureuse, juste une intuition.
Méthode 2 :
Supposons que E existe et est finie. On peut trouver une équation que E doit vérifier, en se basant sur le succès, ou non, de la première tentative : on a une probabilité p de réussir du premier coup, et une probabilité (1 - p) d'échouer, et donc de devoir essayer en moyenne 1 + E fois.
E = p * 1 + (1 - p) * (1 + E)
pE = 1
E = 1/p = N
On trouve la même chose, mais on a dû supposer que E existe et est fini.
Méthode 3 :
Cette méthode utilise les DSE (développement en séries entières).
E = Sigma(k = 1 à +inf)(k.(1-p)^(k-1).p)
Je pose x = 1-p, et comme le terme en k = 0 est nul on peut se permettre de le rajouter.
E = p * Sigma(k = 0 à +inf)(k.x^(k-1))
Je pose f(x) = 1/(1-x).
La DSE de f est bien connue : f(x) = Sigma(k = 0 à +inf)(x^k)
donc f'(x) = 1/(1-x)^2 = Sigma(k = 0 à +inf)(k.x^(k-1)) = E/p
E = p/(1-x)^2 = 1/p = N CQFD
notez que pour avoir le droit de faire ces calculs, il faut que 0 <= x < 1 et donc que 0 < p <= 1, je je suppose que le cas où p = 0 n'est pas très intéressant...
Conclusion : Si un grand nombre de personne tente d'ouvrir le coffre jusqu'à l'obtention de l'objet, il leur faudra en moyenne faire N tentatives chacune.