Sinon pour les infini, est-ce qu´il n´y aurait pas une nuance suivant les "classes" ( je ne sais pas si c´est le terme exact ) d´infini ?

Par exemple, N, Z et Q ont la même classe; R une classe supérireure ( on l´établit au moyen de bijections ). Dans ce cas-là, est-ce qu´on ne peut pas dire (infini de N )/(infini de R )=0 ?

Ok c´est le développement en série de l´exp, mais est-ce que ce n´est pas LA définition de l´exponentielle ( auquel cas il n´y aurait rien à prouver )

Ca ne pourrait pas se démontrer à l´aide des formules de Taylor?
Juste une conjecture...

Rowlor, le développement en série d´une fonction f(x) s´écrit :

f(x) = f(0) + f´(0)/1! x + f"(0)/2! x² + . ..
Or la dérivée à l´ordre n de exp(x) est aussi exp(x) et exp(0) = 1.
Donc exp(x) = 1 + x/1! + x²/2! + . ...

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) (i²=-1)

exp (ix) = 1 + ix - x²2/2 - i x^3/3! + x^4/4! - . ..
Il suffit de prendre la partie réelle de cette expression pour avoir :
cos(x) = 1 - x²/2! + x^4/4! - . ..

Pour sin(x) il suffit de prendre la partie imaginaire :
sin (x) = x - x^3/3! + x^5/5! - . ..

Cela serait avec laquelle ? Parce que reste de Young, c´est local, et reste de Lagrange c´est entre deux points ( reste intégral je ne connais pas )

Jarosze, la définition de l´exp c´est la fonction inverse du log népérien qui est lui-même la primitive de la fonction 1/x

Et comment tu fais alors pour l´exponentielle complexe ? Son noyau n´étant pas réduit à Oc, elle n´est pas injective et donc dans ce cas-là c´est chaud de définir un logarithme complexe....

Attention, Jarozse, ne confond pas développement limité, qui n´est valable qu´au voisinage d´un point, et qu´on peut tronquer où on veut selon la précision recherchée, avec développement en série, qui est une somme d´une infinité de termes et qui est valable en tout point (donc il n´y a pas de reste).

On peut définir ( selon moi ) l´exp de plusieurs façons : par exemple tf f(x+y)=f(x)*f(y) ( plus d´autres lois ), la série....

Ouais je sais c´est pas la même chose mais je n´ai pas encore vu le développement en série.... mais ma remarque sur les formules de Taylor c´était à propos d´une conjecture sur l´utilisation d´une formule de Taylor pour démonter le résultat.

OK pour l´exp complexe, Jarosze, j´avais pas bien compris ta question... Tu as tout à fait raison pour la définition. On part du développement en série de l´exp réelle et on le généralise aux nombres complexes. Tu peux trouver cette définition sur :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node5.html

Sinon pour le résultat j´ai une autre démonstration ( un peu longue ) en se basant sur la définition f(x+y)=f(x)f(y) de l´exp ( sans passer par la définition du développement en série )

Alors oui, Jarosze, chaque terme d´ordre n du DL de Taylor-Young est égal au terme d´ordre correspondant du développement en série.

Tu veux parles du résultat exp(ix) = cos(x) + i sin(x) ?

Ok merci Redsparks pour l´adresse je vais aller y faire un petit tour pour voir un peu ce que sont que les séries

Non la démonstration se fait pour l´exponentielle réelle ( exp(a+b)=exp(a)*exp(b)) en se basant sur la comparaison logarithmique : on montre que la limite S(x) de la somme Sn = 1+x+...+x^n/n! vérifie S(x+y)=s(x)*S(y)

Ah oui ! OK ! DSL, j´avais pas compris la question (encore 1 fois ! ). Oui, la démonstration doit être longue et assez technique...
On peur aussi se baser sur la propriété de l´exponentielle qui est la seule fonction égale à sa dérivée. Le développement en série de Taylor a la même propriété...

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Oui, on y trouve de tout, même des félés des maths !
Bon, celà dit, les maths, c´est que de la nourriture spirituelle, ça ne nourrit pas son homme... Je vais donc me tourner vers des nourritures plus matérielles car je commence à avoir les crocs ! Je vais donc aller casser la graine maintenant et je reviendrai un peu plus tard . ..
@ +...