Shiftsound > Je ne comprends pas ton raisonnement, la fonction racine a la même définition (existe) que ce soit dans R, dans C, ou ailleurs ... C'est effectivement l'ensemble des solutions qui changent en fonction de l'ensemble considéré. La question ici est simplement de savoir si les nombres de C sont "réels" ou non, au sens commun du terme.

je trouve que ça n'a aucun sens de se demander si des nombres, quels qu'ils soient, soient réels.
un nombre, ça ne pousse pas dans les arbres. les mathématiques sont des sciences abstraites par excellence; il n'y a pas de réalité qui tienne.

• sont réels

veuillez pardonner le double post, mais j'invente des emplois du subjonctif apparemment.

Shiftsound > Alors, je veux bien que tu n'y vois aucun sens, mais ce n'est pas du tout ma vision. Tu avais l'air quand même bien retourné de l'utilisation d'un -1 comme solution d'une racine pour quelqu'un qui se fiche de la réalité ou la non-réalité des nombres

necro-13 -> j'en avais juste l'air alors ^^
je disais simplement que ce n'était rigoureusement pas acceptable.

j'aimerais bien connaître ta vision, ceci dit.

Shiftsound > Ma vision est simple, c'est le contraire de ce que tu as dit : "je trouve que ça n'a aucun sens de se demander si des nombres, quels qu'ils soient, soient réels."

Je n'ai simplement jamais vu un nombre qui n'existait pas, et pour cause, s'il n'existait pas, je ne pourrais pas le voir !

@necro-13
"Shiftsound > C'est un peu comme la trivalence en logique formelle : la notion est contre-intuitive mais ça ne l'empêche pas d'être réelle au sens de l'auteur, et surtout productive dans l'application. "aberration mathématique" me semble être un jugement de valeur abusif, les simples nombres négatifs peuvent être une aberration à ce tarif là..."

Ben, j'ai qu'une chose à dire... +1, quoi

C'pas une aberration mathématique, faut pas traiter les nombres comme ça m'sieur, nan mais oh. Shiftsound, c'est toi qui choisis de t'enfermer dans une vision du monde restreinte où la fonction racine ne peut pas admettre de nombre négatif. La vérité, c'est qu'elle le peut, preuve en est les effets concrets que permet l'utilisation du nombre i, sans lequel on n'aurait pas pu construire de GPS ou autres conneries de ce genre

Suffit de voir l'axe réel et l'axe imaginaire pour se représenter la chose. Ca me paraît pas farfelu du tout personnellement

Bonjour
Ca fait 30 ans que je n'ai pas fait de math (le lycée...) mais je voudrais juste vous parler de ma vision, géometrique des nombres imaginaires, qui me semble pouvoir vous reconcilier tous: i²=-1 est vrai et faux en meme temps, tout depend du contexte: dans notre espace commun quadridimensionnel dont trois d'espace pour faire simple, ceci est impossible. Par contre, si on considere une dimension superieure dont l'unité sera justement i (je sais ça tombe mal) son axe sera par definition perpendiculaire aux trois autres (à i*,j et k). Pour tout ce qui appartient a notre monde accessible a nos sens, c'est a dire avec la coordonné en imaginaire à zero, un carré ne peut etre négatif. Par contre, si on considére que l'operation "multiplié par i" revient a operer géométriquement une rotation de 90° par rapport aux trois autres axes, et donc se retrouver pile dans l'axe de cette nouvelle dimension, alors multiplier deux fois par i, donc i², revient a se retrouver dans le sens opposé de la direction de depart, c'est a dire son ancienne coordonné multipliée par -1... et ce quellequesoit la coordonnée choisie (i*, j ou k) donc effectivement selon cette vision geometrique on a i²=-1. on voit aussi que, du point de vue de l'espace a trois dimension, i n'existe pas, il est imaginaire car "hors espace", et par contre i² revient et appartient a cet espace tridimentionnel. Donc i²=-1 est VRAIE dans cet espace tetradimentionnel inaccessible directement avec notre algebre, limité aux trois dimensions (hormis le temps). Cela necessite néanmoins le prérequis de comprendre qu'il n'y a pas vraiment de diference entre algebre et géometrie: une famille de nombre n'est qu'un ensemble de point, c'est a dire une dimension: une famille de quaternions n'est qu'un ensemble de points dans un espace a 4 dimensions, c'est cet espace meme, ou du moins sa définion algebrique. On peut meme deduire, du fait que ces nombres imaginaires aient été essentiels a la résolution de certains calculs, le fait que cette dimension superieure existe bel et bien, c'est un au-delà REEL dans lequel de nombreux phenomene, notamment oscillatoires y sont determinés, mais inaccessible directement a notre algebre....à moins de trouver ce subterfuge de i²=-1

La meilleure réponse à votre joute oratoire est l'exemple du chat de Schrödinger.

• ... Le chat de Schrödinger est une expérience de pensée imaginée en 1935 par le physicien Erwin Schrödinger, afin de mettre en évidence des lacunes supposées de l'interprétation de Copenhague de la physique quantique, et particulièrement mettre en évidence le problème de la mesure...*

• ... Erwin Schrödinger a imaginé une expérience dans laquelle un chat est enfermé dans une boîte avec un dispositif qui tue l'animal dès qu'il détecte la désintégration d'un atome d'un corps radioactif ; par exemple : un détecteur de radioactivité type Geiger, relié à un interrupteur provoquant la chute d'un marteau cassant une fiole de poison — Schrödinger proposait de l'acide cyanhydrique, qui peut être enfermé sous forme liquide dans un flacon sous pression et se vaporiser, devenant un gaz mortel, une fois le flacon brisé.

Si les probabilités indiquent qu'une désintégration a une chance sur deux d'avoir eu lieu au bout d'une minute, la mécanique quantique indique que, tant que l'observation n'est pas faite, l'atome est simultanément dans deux états (intact/désintégré). Or le mécanisme imaginé par Erwin Schrödinger lie l'état du chat (mort ou vivant) à l'état des particules radioactives, de sorte que le chat serait simultanément dans deux états (l'état mort et l'état vivant), jusqu'à ce que l'ouverture de la boîte (l'observation) déclenche le choix entre les deux états. Du coup, on ne peut absolument pas dire si le chat est mort ou non au bout d'une minute.

La difficulté principale tient donc dans le fait que si l'on est généralement prêt à accepter ce genre de situation pour une particule, l'esprit refuse d'accepter facilement une situation qui semble aussi peu naturelle quand il s'agit d'un sujet plus familier comme un chat...*

• ... Est-il exact de dire que le chat est mort et vivant ?

L'affirmation « Le chat est mort et vivant » est effectivement déroutante, et provoque souvent des blagues sur le « chat mort-vivant ». Notre intuition nous dit que les phrases « le chat est mort » et « le chat est vivant » sont chacune la négation de l'autre. En fait, il existe une troisième possibilité : le chat peut être dans un état de superposition, dans lequel il cumule plusieurs états classiques incompatibles.

Il n'y a pas de problème logique (le principe du tiers exclu n'est pas remis en cause), c'est juste qu'un objet quantique peut avoir des propriétés contredisant notre expérience quotidienne...*

https://fr.wikipedia.org//wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger

de plus, pour revenir à la fonction racine, je vous inviterais tous à aller vous renseigner sur ce qu'est une fonction avant de dire n'importe quoi.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_%28math%C3%A9matiques%29

en gros, une fonction c'est un ensemble de couple (c'est une relation entre deux ensembles, une relation est un ensemble de couple). La contrainte c'est que les éléments de la première partie du couple soient unique (donc il n'y a pas deux couple genre (x, a) et (x, b), le x ne peut apparaître qu'une fois)

Ainsi, la fonction racine sur R n'est PAS la fonction racine sur C.
Mais l'une n'a pas plus de "sens" que l'autre (et c'est là toute la beauté des maths : faire un pied de nez à la réalité et à ce qu'on appel le "bon sens" (ou l'"opinion de la majorité ignorante") pour ne se concentrer que sur sa propre cohérence par rapport à ses règles).

Et i est imaginaire. Parce qu'il a été définit ainsi. Ca ne le rend pas moins "pertinent" ou censé que 1. Et 1 n'est réel que dans le monde des mathématiques.

Et 1 n'est pas premier (puisque la taille de l'ensemble de ses diviseurs n'est pas égale à deux).

Et N et aussi grand que Q.
et P(R) est plus grand que R, qui lui-même est plus grand que Q, même si Q est dense dans R (c'est à dire que quelque soit le point de r et aussi près qu'on le regarde, il y a toujours un point de q avant et après).

@Bubuche87

ça me fait penser que j'ai jamais compris comment l'infini pouvait être plus grand que l'infini
(les réels plus grand que les entiers, même si il y en a déjà une infinité)

D'ailleurs on pourrait compter les infinis? genre pour les relatifs il y aurait 2infinis ( + et -), un infini pour les entiers ( le +)
pour les réels des infinis entre chaque nombre, mais il y en a une infinité, donc infinixinfini??
( je dois dire n'importe quoi la x) )

i = -1 est un axiome, bye ^^

je vais répondre à ta question pour "comparer les infinis".

Déjà je vais prendre deux ensembles infinis A et B, comme ça ils auront des noms.

Ensuite je vais faire la supposition que tu sais ce qu'est une fonction (le truc genre f(x)=y )

Ok, maintenant je vais te donner une définition "avec les mains" (=pas très formelle) de la comparaison de deux ensembles infinis:

"A est plus grand que B si toutes les fonctions f(x)=y avec x qui est pris dans et y qui est dans B finissent toujours par avoir des points qui se "collisionnent" à l'arrivée".

En gros, il y aura des points différents dans A qui auront la même image dans B. Et ce qu'importe la fonction que tu prends.
Une collision c'est quand tu as f(x)=un_certain_truc et f(y) aussi égale à ce un_certain_truc. Avec bien sur x différent de y (parce que si x=y, comment dire ... )

Un contre-exemple : si je prend la fonction qui part de N (les entiers naturels) et qui arrive dans R (les réels) alors il me suffit de prendre la fonction identité ( c'est-à-dire f(1)=1, f(2)=2 etc.) pour ne jamais avoir de collision à l'arrivée. Donc N n'est PAS plus grand que R.
En revanche, si tu prends une fonction qui part de R et qui arrive dans N tu auras toujours des collisions à l'arrivé.

Et il est possible de faire une fonction qui parte de Q (l'ensemble des fractions avec des entiers en haut et en bas genre tous les "x divisé par y avec x et y entier positif ou négatif") et qui arrive dans N sans collision, donc Q n'est PAS plus grand que N.

Note bien qu'il suffit même d'une seule fonction "sans collision" de A vers B pour montrer que A n'est PAS plus grand que B. Et ce même si tu peux trouver facilement des milliers de fonction avec collision de A vers B, ça on no care complet.

Lorsque je te dis qu'il n'existe pas de fonction de R vers N sans collision, ce n'est pas que les matheux n'en n'ont pas trouvé, c'est qu'ils ont montré qu'il n'en n'existait pas (parce que c'est un peu impossible de tester toutes les fonctions les unes après les autres pour montrer qu'aucune ne marche, m'voyez ?)