C'est vraiment intéressant, je ne connaissais pas cette tentative de démonstration de l'existence de Dieu. Je ne connais pas Leibniz, mise à part son penchant non dissimulé pour la théorie de la mathématique universelle, concept qui irait plutôt dans ton sens.

Je ne nie pas quant à moi que certaines grandes, très grandes questions soient abordées de manière mathématique. D'ailleurs je suis plutôt amateur de cosmologie et dans ce domaine, on est servi. Mais d'une manière très basique et frontale, penses-tu que le "Contrat Social" de Rousseau ou "Ethique" de Spinoza puissent engendrer une quelconque traduction mathématique ? D'une manière générale certaines branches de philosophie, notamment les philosophies politique et morale, restent encore totalement exemptent, selon moi, de toute formalisation mathématique.

"Comment mathématiser un concept philosophique ?"

Est-ce que "mathématiser" a seulement un sens ?
En mathématiques, comme en philosophie, on commence par définir des concepts puis on en extrait des propriétés et on on pousse pour voir jusqu'où on peut tirer des déductions logiques.
Si on veut "mathématiser" un concept philosophique, alors cela pourrait revenir à exprimer ce concept avec un formalisme mathématique. Le concept n'est pas altéré dans l'opération. Pour exemple, on peut lire la preuve de Gödel dont je donne le lien plus haut : Gödel manipule le concept de Dieu par le prisme des mathématiques, mais il n'opère aucune transformation du concept de Dieu. Tout au plus il exprime ses propriétés (telles qu'énoncées par Leibniz) autrement, plus formellement.

"penses-tu que le "Contrat Social" de Rousseau ou "Ethique" de Spinoza puissent engendrer une quelconque traduction mathématique ?"

En fait, tout discours logique, qui est construit selon le principe "hypothèses/définitions" "déductions" "conclusions" peut être exprimé sous forme mathématique. Les mathématiques ne sont pas sensibles au sujet étudié : au fond c'est juste de la logique, et cette logique peut traiter de droites, de nombres, du vrai, du faux, ou encore de Dieu, ça ne fait aucune différence.
Là où la philosophie peut ne pas se formaliser correctement sous forme mathématique, c'est lorsqu'elle ne repose pas strictement sur des raisonnements rigoureux (déduction, raisonnement par l'absurde), mais sur des raisonnements plus faibles (induction, abduction).
La preuve ontologique de Leibniz est extrêmement bien rédigée, elle se base sur une déduction rigoureuse, et du coup se transcrit extrêmement bien sous forme mathématique.

Par contre, il ne faut pas croire que l'utilisation des mathématiques pour formaliser des raisonnements philosophiques serait un moyen d'aboutir de manière irréfutable à une quelconque vérité. Au mieux cela permet d'éprouver la robustesse d'un raisonnement, mais on peut toujours critiquer les définitions, les axiomes retenus, l'interprétation des conclusions, etc. Ce n'est pas parce que Gödel a mis sous forme mathématique la preuve ontologique qu'on peut affirmer pour autant que Dieu existe.

Selon moi les mathématiques sont un outil, et juste une partie de la philosophie.

Il ne servent strictement à rien si on ne leur donne pas un cadre, une direction ou aller. Ils nous aident à résoudre un problème posé. Mais le problème doit d'abord se poser.
Et c'est là où les mathématiques sont inutiles : définir le cadre. Ce qu'on recherche. Les mathématiques excellent à trouver les solutions, pas les problèmes.

Le postulat et l'axiome sont de bons exemples en ce qui concerne l'utilisation des mathématiques. Ils désignent tous deux un principe non démontré mais "sans doute" légitime, car semblant intuitivement non contestable. Ils fixent arbitrairement un cadre, admettent l'expérience sensuelle de la réalité afin que la démonstration mathématique qui s'en suit corresponde avec la connaissance synthétique. Par exemple la proposition : "la ligne droite est le plus court chemin entre deux point" n'a besoin d'aucune rigueur mathématique, ni d'aucune démonstration pour être vrai.

D'autre part, les mathématiques sont un langage. Mais la parole aussi est un langage. Pourquoi vouloir formaliser mathématiquement la notion d'éthique quand le langage nous le permet déjà, et de manière plus aisée ? Ici se pose la question de l'utilité mathématique. Si elle peuvent expliquer beaucoup de chose, découvrir aussi, et accentuer la validité d'un phénomène, elles ne sont pas indispensable à tout.

...ET ne servent pas à tout.

"Et c'est là où les mathématiques sont inutiles : définir le cadre. Ce qu'on recherche. Les mathématiques excellent à trouver les solutions, pas les problèmes."

Il y a là une question importante mais qui ne peut pas être résolue si simplement. Le choix des axiomes fait-il partie ou non des mathématiques ? Pourquoi choisir un axiome plutôt qu'un autre ?

En mathématique, tout axiome est acceptable, on peut donc légitimement tout tenir pour vrai, indépendamment d'une quelconque implication pratique. En gros, les mathématiques peuvent contenir tous les cadres possibles et imaginables.
Les mathématiques nous servent à obtenir des solutions, mais elles n'ont pas besoin que des problèmes se posent pour exister (certaines branches des mathématiques sont aujourd'hui dépourvues de toute application concrète). En donnant un but aux mathématiques, on se restreint à un sous-ensemble des mathématiques/de la logique.

Toutefois on reste toujours sur une question complexe et intéressante : comment se construit la connaissance humaine (en philosophie ou en mathématique), et dans quel but ?

"Pourquoi vouloir formaliser mathématiquement la notion d'éthique quand le langage nous le permet déjà, et de manière plus aisée ?"

Notre langage naturel n'est pas formel. Il a des failles dans lesquelles peuvent s'introduire des raisonnements non-rigoureux sans que l'on ne puisse s'en rendre compte facilement. S'il est plus aisé à manipuler qu'un langage formel, il est aussi moins fiable.