Et ta question est très loin d'être bête, c'est une interrogation épistémologique qui porte sur le statut des mathématiques.

Si actuellement les maths sont partout (outils techniques etc) la question de leur fondement reste totalement irrésolue.

Je serais d'accord dans le raisonnement avec Kientz, et je dirais que les math sont une invention mentale de l'homme pour décrire et comprendre l'univers qui l'entoure.... s'il n'y avait pas ces constantes fondamentales réglées aux petits oignons. Ces constantes me font dire que l'univers est intrinsèquement mathématique.

"Y aurait-il une situation où les maths seraient inapplicables ?"

Il y en a de nombreuses. Très nombreuses. Et même par exemple lorsque je cite la proposition suivante : "Le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite", mon concept de ce qui est droit ne contient aucune détermination de grandeur, mais seulement une qualité. Là encore, la mathématique n'intervient absolument pas.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire sur cet exemple, pour moi c'est une proposition purement mathématique (on peut très bien caractériser une droite en termes mathématiques)

"on peut très bien caractériser une droite en termes mathématiques"

Non, on ne peut pas justement. Mon exemple montre qu'en réalité, cette proposition ne repose pas sur la mathématique, mais sur une synthèse intuitive. Le concept de ce qui est le plus court étant complètement surajouté.

La mathématique induit la mesure, si tu veux, mais dans cette proposition, il n'est en fait question d'aucune mesure. Il est question de faire état de ce qui est.

Bien sûr que si... Si on se place par exemple dans un plan euclidien, ce qui est le cas le plus courant, de nombreuses propriétés pourront caractériser une droite (la forme de son équation cartésienne ou la valeur de son rayon de courbure notamment).
"Le concept de ce qui est le plus court" est aussi quelque chose qui a été introduit en mathématiques et qui correspond à quelque chose de formellement défini.

Je ne vois vraiment pas en quoi cette proposition peut ne pas être mathématique.

Et oui c'est quelque chose d'intuitif, ça peut d'ailleurs être un axiome de la géométrie il me semble. Mais le fait que ça soit intuitif, comme beaucoup de choses en mathématiques, n'empêche pas cela d'avoir une 'existence mathématique'.

Ce que je veux dire par là, c'est que la droite mathématique n'est qu'une droite mathématique. Une droite n'est droite que théoriquement sur un repère normé et arbitraire. Il n'est ensuite pas question de renier le fait que "Le concept de ce qui est le plus court" est une notion mathématique. L'intérêt ici, c'est de bien comprendre que dans cette proposition, nul besoin de se rapporter à ce qui est le plus court pour y répondre. C'est un concept surajouté ici. Qui nous pousse à envisager le problème de manière mathématique, alors qu'il ne l'est pas.

Tu veux simplement dire que dans les réels il n'existe pas d'objets mathématiques parfaits ? Si c'est ça, je suis d'accord, mais je ne trouvais pas ça clair.

C'est ce que Kant appelle par ailleurs la connaissance "à priori". Une connaissance qui précède celle de l'expérience, dite "connaissance à postériori".

"Tu veux simplement dire que dans les réels il n'existe pas d'objets mathématiques parfaits ? Si c'est ça, je suis d'accord, mais je ne trouvais pas ça clair. "

C'est plus complexe que ça

S'il est aisé de reconnaitre une droite mathématique, il est difficile, voir impossible de caractériser la droite du réel. (Ou de la Vérité). Par exemple je pourrais te demander : Prouve moi que l'arrête de ton bureau est droite. Si tu t'attèles au problème, tu buteras en premier lieu sur la norme, le repère sur lequel tu vas te baser. Le "droit" existe-il même ?

Si la mathématique caractérise ce qui est droit, c'est uniquement dans son cadre. Il produit cette connaissance de lui même et pour lui même.

Mais l'intérêt n'était pas là, en premier lieu. L'intérêt était de donner un exemple d'une proposition qu'on pourrait penser mathématique, mais qui fait en fait juste appel à notre capacité à synthétiser le réel à l'aide de l'intuition.

Il y a encore des kantiens sérieux au XXIe siècle ?

Tu réfutes la "connaissance synthétique à priori", sale hérétique ?

L'infini est aussi un bon exemple pour l'auteur.

L'infini est un concept uniquement mathématique. Il n'existe pas en -réalité-

Ce genre de considération illustre bien que la mathématique produit son propre savoir, ainsi que sa propre logique. En ce sens, elle n'est qu'un outil de décryptage du réel. Sa limite est immédiate. Elle peut paraitre aussi utile qu'un tournevis dans le cadre de la construction d'une maison. Les mathématiques à visé purement scientifiques sont rares. Ils sont toujours un outil. Un outil parfois très utile, parfois presque inutile.

Je pense qu'on peut trouver une formule à tout , encore faut-il savoir quoi mettre ...

Il n'y a pas de formule pour trouver la Vérité. A partir de là, non, on ne peut trouver une formule pour tout.

De même qu'il n'y a aucune formule qui démontre que le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite. Comme je l'expliquais plus haut. Car cette Vérité n'est pas mathématique.

D'après moi, les limite des mathématiques sont à différencier des limites physiques, car on sort du domaine mathématique pure. les limites des mathématiques pure sont des limites d'outils que sont obligé de franchir certains physiciens pour être en mesure de résoudre leur problème. Prenons un exemple connu (car je sens que ça se mélange entre physique et mathématiques) : au XVIIième siècle, Newton a été obligé de formuler la notion de différentiel (variation infinitésimal d'une quantité) qui n'existait pas à son époque et qui lui a permis de décrire correctement la théorie qu'il était en train de mettre en place. A ce moment là, les mathématiques avaient pour limite l'impossibilité de décrire des variations infiniment petite, nécessaire pour passer d'une accélération à une vitesse, puis d'une vitesse à une position (et inversement), et ce, de manière mathématiquement exacte. Newton avait alors atteint (et même dépassé, pour le coup) les limites mathématiques de l'époque.

Aujourd'hui, les physiciens des cordes (entre autre) rencontrent le même genre de problème, ils sont au niveau des limites des mathématiques, et ne parviennent plus à décrire mathématiquement le phénomène décrit par la théorie. Ils développent de nouveaux outils qui vont leur servir à décrire de manière exacte (toujours au sens mathématique) leur théorie.

Ce dont vous parlez s'appelle modélisation. Il s'agit de la description mathématiques d'une réalité physique qui comportent des limites qui sont des limites de validité. Dans ce cadre, l'infini est effectivement l'une des limites puisque aucun système, y compris l'univers entier, ne tend vers l'infini (il suffit de prendre un nombre comme 10^100 et de dire qu'on compte en une unité de distance. Alors soit on dépasse de beaucoup la taille de l'univers, si l'on en croit les théorie actuelles, soit il faut inventer des unité de longueur bien plus petite que les unités existante, ce qui, en dessous de 10^(-36) m il me semble, n'a aucun sens).
Il ne s'agit pas là de la seul limite existante évidemment.

Deux points dans l'espace n'ont pas forcément comme distance la plus courte une droite, suivant qu'on prenne en compte les obstacles ou non, suivant l'espace dans lequel nous nous trouvons (distorsion spatio-temporel du à la présence d'un astre ou tout autre objet), et cela est bien sûr décrit mathématiquement, mais a un sens sans les mathématiques en effet (puisque l'homme de Cro-Magnon savait prendre le chemin le plus court avant même d'avoir inventé les mathématiques XD). Cela dit, la description mathématique est nécessaire pour sa prise en compte dans les modèles (mais ça, c'est logique en même temps)

Bref, tout ceci est donc du domaine de la modélisation réunissant mathématique et physique. Il me semble que le sujet traitait des maths et seulement des maths (ça a peut être dérivé à un moment ou à un autre (petit jeux de mots furtif en passant ^^)).

Le sujet est la "limite" des maths. Il est assez normal qu'on en arrive à parler des aspects de la connaissance qui ne touchent plus aux mathématiques. C'est à mon avis là le vrai sujet d'ailleurs. La différence entre la théorie mathématique et le réel saute au yeux de prime abord, et quelques notions de physique permettent d'en connaitre les grandes lignes je pense. Je m'intéressais personnellement surtout à autre chose.

Lorsque tu dis :

"Deux points dans l'espace n'ont pas forcément comme distance la plus courte une droite, suivant qu'on prenne en compte les obstacles ou non, suivant l'espace dans lequel nous nous trouvons (...)"

Le fait que tu vois le problème sous cet angle montre que tu n'as pas saisi mon propos, ou que je l'ai mal exprimé. La proposition "Le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite" est totalement complète quand je la cite et pour mon exemple. Il n'y a aucun obstacle, il y a deux points intangibles, dans du vide, ou un repère qu'on se fixe mentalement. Il est question ici de faire acte d'abstraction, de penser "en théorie".

Et, et c'est là mon propos principal, si on connait l'abstraction mathématique, ici, l'abstraction nécessaire pour résoudre cette proposition ne réclame -pas- l'usage de la mathématique, justement. Le concept de ce qui est le plus court étant surajouté et non indispensable, la mathématique , pour cette proposition, est inutile. C'est une des limites des mathématique. Une limite disons "basse" que Kant appelle la connaissance synthétique à priori. (mais qui ne s'oppose pas pour autant aux mathématiques.)

On peut résumer tout ça en une seul demande :

Prouve moi mathématiquement que le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite.

Apachoid Voir le profil de Apachoid
Posté le 2 août 2013 à 20:14:29 Avertir un administrateur
On peut résumer tout ça en une seul demande :

Prouve moi mathématiquement que le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite.

Je vais te le démontrer autrement en te demandant comment tu en arrive à cette conclusion sans résoudre le problème avec des calculs ?

Je répond à ta place (et tu me diras comment tu fait si ce n'est pas comme ça que tu procède), tu te représente le problème dans ta tête et tu en déduit intuitivement que la droite est le plus court. Mais cette représentation que tu te fait est géométrique, et la géométrie est purement mathématiques (en tout cas, c'est comme ça que je procède).

Alors effectivement, tu n'as effectué aucun calcul, mais pour faire des mathématiques, tu n'as pas forcément besoin de calculer.

Bon, je te vois venir, faire des mathématiques, pour toi, c'est poser le problème et le résoudre de manière rigoureuse. Et effectivement, pour un certain nombre de problème, on n'a pas besoin de poser les équations. Mais il n’empêche que toute la base des mathématique repose sur quelque chose et ce quelque chose s'appelle l'esprit humain. Effectivement les mathématiques sont un outil, et cette outil a été pensé et construit par l'homme afin de résoudre des problèmes complexe de manière rationnel. Et à la base on s'en est servit pour des problèmes simple : compter le nombre d'animaux dans notre enclos, déterminer si une telle dimension de planche suffit pour faire une porte (et ainsi fermer le trou qui sert à entrer dans la maison) ... etc etc, jusqu'à aujourd'hui où l'on résout des problèmes beaucoup plus complexe (enfin, on a pensé les mathématiques encore bien avant d'être sédentaire, ne serait-ce que pour chasser ... mais ça c'est une autre histoire).

Bref, oui les maths c'est un outil formidable, et je te dit que oui on peut résoudre tout problème rationnel par les mathématiques (sans aucune exception ... site moi un problème purement rationnel qui ne soit pas et ne puisse jamais être résolu mathématiquement), simplement certains problème sont plus complexe que d'autres et nécessitent, pour les résoudre humainement (c'est à dire en un temps suffisamment court, je prend quand même en compte les capacité de calcul d'ordinateur, même si ça n'a pas d'importance dans ce que je veut dire) et alors on est obligé de simplifier le problème, de faire des approximations parfois grossière. Bien sûr aussi, certaines lois de la physiques (pour ne pas dire la plupart d'entre elles) contiennent déjà des approximations, car la détermination de ces lois se fait empiriquement, et la mesure n'est pas exacte, et comme la mesure ne se fait pas sur tout le domaine possible, il y a fort à parier que l'équation qu'on en tire n'est valable que pour le domaine étudié expérimentalement ... bon bref, je m'emballe là.

Tout ce que je veut dire c'est qu'avec les maths tu peut tout représenter, tout ce qui est rationnel. Après, les limites qu'on lui connait, c'est simplement qu'on n'a pas encore décrit de formulation et pas trouvé de lois mathématique permettant de décrire certains comportements physique. C'est, à mon sens, les vrais limites mathématiques, le fait qu'à un instant donné, il y a des phénomènes physique qu'on ne peut pas décrire. Mais il suffit (c'est un bien grand mot car c'est très difficile en réalité) de construire l'outil qui va bien pour décrire le phénomène.

Evidemment, on ne parvient jamais à décrire de manière exacte la réalité, mais, à mon sens, ce n'est plus un problème de mathématique mais un problème de modélisation, c'est à dire le lien entre la physique et les mathématiques. Tu as la réalité vrai que l'on cherche, les mesures effectuées qui nous permettent de prendre connaissance de cette réalité (et qui induit déjà des erreurs, ne serait-ce que par le fait que l'on doit prendre en compte l'outil de mesure dans la mesure, ainsi que les conditions de la mesure, et s'il faut mesurer tout ça, et mesurer ce qui permet de mesurer tout ça .... etc, on n'a pas fini), la représentation mathématique du phénomène étudié (qui introduit encore des erreurs d'approximations cette fois ci), pour finir à son utilisation dans les modèles qui permettent d'exploiter concrètement ce qu'on a mesurer ... bref, c'est compliqué, et en en ayant conscience, on comprend bien pourquoi il y a parfois autant de différence entre la théorie et la réalité, et on se demande même parfois comment la théorie arrive à être si proche de la réalité.

Mince, je me suis encore écarte XD (j'ai grand mal à être concis, désolé). Mais j'espère que tu vois où je veut en venir. Et au fait, oui, pour la ligne droite, je n'avais pas compris que tu la prenait en compte uniquement de manière abstraite et sans aucun obstacle d'aucune sorte.

En tout cas, essaie vraiment de répondre à mes interrogations, j'ai peut être oublié certains détails (je pense que non, mais je sais que je peut me tromper XD). Après, je n'exclut pas le fait qu'on ne voit peut être pas la même chose dans les termes qu'on utilise (j'ai déjà remarqué ça sur d'autres topique). Mais j'espère avoir été claire, c'est ce que je visais en tout cas.