Arrete tu ma cramé

Pour cette histoire d´axiome, je pense plutôt que l´on devrait parler de "Postulat", ce serait le terme le plus adapté je pense.

C´est un peu embrouillé de dire qu´un choix est un axiome, alors je vais apporter quelques précisions.

Un axiome c´est quelque chose d´identifié comme vrai propre à une structure, donc comme je l´ai dit dans un post précédent : l´axiome "1+1=2" n´est pas vérifiable partout en maths (qui n´en est pas un d´ailleurs tu ne verras jamais ça en maths, on te parlera plutot des axiomes de Peano pour construire l´ensemble ordonné des entiers naturels), il est propre et STABLE à une structure algébrique.
Mais dans une structure d´anneau cette relation est fausse car on choisit de dire que l´élément neutre 1 de l´addition est égal à son inverse -1, d´où 1+1=0. On est poussé à choisir ça car sinon on tombe sur 1=0 d´où la formation d´un anneau nul (et l´anneau nul c´est pas très productif ^^)

Tbop2 : je ne suis pas tout à fait d´accord avec toi.

Dans le cas général de l´arithmétique (sans s´aventurer dans une définition d´une structure particulière), 1+1=2 est presque autant un axiome (tu peut le traduire en S(x) + 0 = 0 et S(x) + S(y) = S(S(x)) + y avec ici x et y égale à 1).

Ensuite, partout où ça a un sens, 1+1=2 est "vrai" parce que c´est la notation usuelle, on note 2 l´élément d´un ensemble muni d´une structure d´addition qui vaut deux fois l´unité. Donc même dans {0,1} 1+1=2, sauf que 2=0 (si tu n´admet pas ma dernière affirmation, alors tu ne peux pas non plus me dire que 1+1=2 est faux dans cet anneau, car ça n´a juste aucun sens, ni vrai ni faux).

"Mais dans une structure d´anneau cette relation est fausse car on choisit de dire que l´élément neutre 1 de l´addition est égal à son inverse -1, d´où 1+1=0. On est poussé à choisir ça car sinon on tombe sur 1=0 d´où la formation d´un anneau nul (et l´anneau nul c´est pas très productif ^^)"

là je n´ai pas compris ce que tu as dit, mais je crois que tu t´es un peu embrouillé.

Par contre pour le problème du "choix des axiomes", là aussi, je ne suis pas d´accord avec toi : on peut très bien dans un même domaine, avec les mêmes bases (reposant sur un ensemble commun d´axiomes) choisir ou non d´utiliser d´autre axiome. L´exemple le plus connu (et dont tu as du entendre parler cette année) est l´axiome du choix (
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix ), que l´on peut accepter ou refuser, en faire ou non un axiome est donc bien une question de choix (ce choix là, n´a rien à voir avec le nom de l´axiome).

Je m´attendais à me prendre l´axiome du choix en pleine tête, mais vois tu je me demande surtout si viper parle du même choix que nous.

Pour mon exemple, non je ne me suis surtout pas embrouillé ! Il n´y a aucune ambiguité à dire 0=2 dans l´anneau (0,1).

Mais bon si je ne me suis pas fait comprendre, construisons ensemble la structure additive de l´anneau :

• 0+0=0
• 1+0=1
• 0+1=1

Sauf que justement lorsqu´ont veut définir 1+1 dans cet anneau 2 choix s´imposent à nous :

- Soit 1+1=1 et alors 1=0 donc par équivalence l´anneau est nul.
- Soit 1+1=0 et alors 1=-1 et donc l´anneau (0,1) a la particularité que l´élément neutre de l´addition et égale à son inverse !

Les 2 sont possibles, on choisit la deuxième proposition car on ne veut pas que l´anneau soit nul !
Mais évidemment qu´il en résulte que dans cet anneau 2 fois l´unité vaut 0, et 3 fois l´unité vaut 1=-1.

C´est écrit bleu sur blanc dans mon classeur de maths, je viens même d´en reparler il y a 2 mn avec les majors :p

Et je ne parle pas d´arithmétique mais d´algèbre.