Tbop2, la démonstration est plus simple en utilisant :
b = (somme de (k=1 à +infini)) de 9.10^(-k) puis la formule de la somme des termes d´une suite géométrique de raison différente de 1 
On déduit facilement que la somme de cette série est 1
M´enfin c´est juste un détail ...