euh, t´y est pas du tout , je parlais d´un nombre quelconque à la puissance 0

Oui ben c´est bien ce que je dis je suis en train de voir pour a appartenant à R-, cette fois peut etre avec l´exp complexe ça doit s´expliquer.

donc si je suis bien (car je m´y retrouve pas avec toutes ses notions mathématiques, désolé, chuis qu´en 2nd ), y´a que pour 0^0 que c´est une convention que le résultat soit 1.

Si t´es en seconde tu dois avoir une caltos alors trace donc la fonction exp(x*ln(x)).

Pour moi (-a)^0=1 n´est pas une convention mais comme a priori je ne saurai pas trop te démontrer pourquoi ( si tu veux je demande à mon prof de math demain ), je ne m´avancerai pas trop là dedans.

Je suis allé m´interesser à la fonction z^w = exp(w*ln(z)) mais ils disent qu´elle est définie sur C*... privé de R- ... donc on tourne en rond.

Une approche plus intuitive de la chose puisqu´il est en effet à noter que a^0 = 1 puisse étonner le néophyte.

bon tu dois savoir que les puissances non entières s´interprète comme des multiplication de a avec ces racines n-ième.

Je m´explique :

racine carrée de a = a^1/2

de même pour une racine n-ième de a = a^1/n

Intuitivement on peut donc s´amuser à regarder, et à comprendre pourquoi donc a^0=1, la limite de cette suite par récurrence (pour n appartenant à N*):

f(un) = u(n+1)

où f(x) = racine carrée de x

Ainsi pour t´expliquer le principe car tu ne connais pas très bien les suites par récurrence, tu prends un nombre quelconque entre ]0;+infini[. Mathématiquement ( et c´est assez simple à démontrer ) tu va voir que la suite converge vers le seul point fixe de la fonction sur ]0;+infini[, ie :

x=racine carrée de x

x = 1

Revenons maintenons à la forme puissance, en faites tu peux voir que la suite par récurrence peut aussi s´interpréter sous la forme

un=uo^1/(2^n)

uo= uo
u1= uo^1/2
u2=uo^1/4
u3=uo^1/8

Ainsi en faisant tendre n vers +infini on a déjà démontrer que un -> 1

or un = uo^1/(2^n)

d´où comme 1/(2^n) -> 0

on a un = uo^(1/2^n) -> uo^0 -> 1

Voili-voilou.

PS : si t´as rien compris à ce que j´ai dis, prend un nombre ( pas trop grand sinon t´en auras pour longtemps ) et applique lui plein de fois racine carrée :

ex : prenons 5

racine carrée de 5 = 2.236 = u1

racine carrée de u1 = 1.495 = u2

racine carrée de u2 = 1.223 = u3

racine carrée de u3 = 1.106 = u4

racine carrée de u4 = 1.052 = u5

racine carrée de u5 = 1.025 = u6

...

Dis donc vive mes fautes d´orthographe moi...

Mais tout ceci n´est qu´un prolongement par continuité de la fonction puissance, donc qui n´est qu´une convention.

C´est comme la fonction (x^2)/x qui tend vers 0 en 0+ et 0- ( et qui s´apparente à la fonction x sur R*),
on a bien envie de se dire tient on va poser f(0)=0, ça nous dérange pas trop puisqu´on sait qu´elle s´apparente à x sur R*.

MAIS ça ne veut en aucun cas dire que 0²/0 = 0 !! ! Ce n´est qu´une convention sur UN cas particulier, qui arrange les calculs.

Eh ben là c´est pareil, on sait que (10^-9999)^(10^-9999) = 1 donc on pose par convention 0^0 = 1 mais personellement je n´ai jamais vu cette écriture en maths.

en effet, j´ai pas trop compris.
je crois que je vais te croire sur parole

Dans un an tu sera à même de comprendre et ça sans exponentielle ^^

je patienterai jusqu´à là

la vrai question, c´est pourquoi ?

on n´écrira jamais 0^0, justement parce que le calcul n´a pas énormément de sens.

Par contre, on risque souvent d´avoir f(x)^g(y) où f(x) et g(y) tendent vers 0 pour des x et y qui tendent vers des valeurs particulier. Mais là, la limite de l´exponentiation n´est pas 1, ça dépend complètement de f et g (si la limite existe). Donc la convention pour 0^0 n´est pas très utile.

je pense donc que c´est un débat sans grande importance.

Bon, j´ai des questions sur les puissances qui me turlupinent depuis assez longtemps en fait, je me lance (une partie a déjà été abordée plus haut, mais seulement une partie).

Posons :
a élément de R+*
b élément de R+
a´ = 0
Rappelons que la fonction f(x) = ln(x) est définie pour x appartenant à R+*, et que la fonction g(x) = exp(x) est définie pour x appartenant à R.

On a donc une définition générale de la puissance :
a^b = exp(b*ln(a))

Première chose :
On sait que a^(-b) = 1/a^b. j´ai vérifié pour quelques nombres que 1/a^b = exp(-b*ln(a)) et ça a bien l´air vrai (j´espère que je ne suis pas tombé sur 2 ou 3 cas particuliers ). Par contre, j´aimerais savoir comment ça se démontre....

Ensuite, le reste.
Le problème se pose pour (-a)^b, car exp(b*ln(-a)) n´est pas définie... Et pourtant, (-a)² par exemple, existe bien...
Problème similaire pour a´^b : exp(b*ln(a´) = exp(b*ln(0)), et ln(0) n´est pas définie... Pourtant, là aussi 0², 0^3...enfin etc sont bien définis, et je sais les calculer...
Dans les deux cas, il semble que la définition censée être générale déraille... C´est là que je comprends pas bien...sauf si c´est une généralisation seulement sur R+*, évidemment... Mais dans ce cas, existe-t-il une définition vraiment générale de la puissance, qui englobe tout ? Parce que sinon, je trouve que ça en fout un sacré coup à la mythique rigueur mathématique, plusieurs définitions sous un même terme....

Première chose :
On a pour tout x,y réels exp(x+y)=exp(x)*exp(y) et exp(0)=1, d´où pour tout x réel, exp(-x)=1/exp(x) (relation précédente avec y=x).
Et ainsi pour a>0 et b réel,
a^(-b)= exp(-b*ln(a))= 1/exp(b*ln(a))= 1/a^b

Ensuite, le reste :
Comme je l´ai écrit précédemment, on ne peut pas voir la puissance d´un nombre négatif comme une exponentielle (du moins on ne peut pas le faire de manière simple et pratique comme pour les nombres positifs), il faut prendre la définition naturelle : a^n=1*a*..*a (avec n produit par a).
Mais cela ne "fout pas un sacré coup à la mythique rigueur mathématique" car lorsque les deux définitions sont valables, elles coincident. il n´y a donc pas d´ambiguité dans la notation a^x avec x entier et a réel ou x réel et a réel strictement positif.

Au lieu de faire fonctionner inutilement votre matière grise, dites vous cela :
Avez-vous déjà reussi à diviser quelque chose de manière à obtenir 0 parts ? Je suppose que non, voilà pourquoi la division par 0 est impossible. "Diviser" et "par 0" ne sont-elles pas deux notions contraires?

Première chose :
On a pour tout x,y réels exp(x+y)=exp(x)*exp(y) et exp(0)=1, d´où pour tout x réel, exp(-x)=1/exp(x) (relation précédente avec y=x).
tu voulais sûrement dire avec y = -x...dans ce cas j´ai compris, sinon je vois pas....

Comme je l´ai écrit précédemment, on ne peut pas voir la puissance d´un nombre négatif comme une exponentielle (du moins on ne peut pas le faire de manière simple et pratique comme pour les nombres positifs), il faut prendre la définition naturelle : a^n=1*a*..*a (avec n produit par a).
Et si n n´est pas naturel ? Par exemple un rationnel, puisque ça correspond aux racines ? Les racines cubiques de nombres négatifs existent dans R, pourtant avec la définition exponentielle je me retrouve face à un indéfini ; d´ailleurs, je peux aussi trouver une racine carrée, mais dans C...

Enfin bref, si ça en fout un coup au côté rigoureux, puisque selon les cas, je dois me référer à plusieurs définitions différentes pour une même notion...ça fait pas très sérieux.
C´est bien le fait que chaque définition ne soit valable que dans certains cas qui fait bizarre, le fait que les résultats coïncident quand deux marchent à la fois n´y change rien...

Non vraiment, y a pas une définition générale, qui englobe tout, et pour laquelle on retombe naturellement sur les différents cas en fonctions des nombres en jeu ? Ca serait quand même logique qu´il n´y ait qu´une seule chose derrière un seul mot (pourquoi appeler "puissance" autant de choses différentes ?) ?
Ce que j´ai dit plus haut sur les puissances rationnelles me ferait pressentir une définition générale, mais sur l´ensemble C...bon ou pas ?

Je ne comprend ton problème christophe l´équivalence entre a^b et exp(b*ln(a)) est vrai pour tout a appartenant à R+* et b appartenant à R. Alors où est le problème avec les puissances négatives ?

Et quel est le rapport avec les racines cubiques de nombres négatifs quand il n´y a pas équivalence entre les 2 notations.

Il n´y a aucun problème de rigueur dans l´équivalence, c´est toi qui me parait aller chercher des choses qui ne sont pas définie comme des a négatifs, ce qui n´a aucun sens !

Sinon je pense encore une fois que ta réponse se trouve dans l´exponentielle complexe... mais il faudrait donc qu´encore une fois je pense à demander ça à mon prof de maths ^^

Mais mon problème est précisément que cette équivalence n´est vraie que dans certains cas. (et je disais bien que le problème se pose quand a est négatif, pas b).

En somme, il n´y a pas une définiton de la puissance cohérente, mais DES définitons différentes qu´il faut prendre garde à bien choisir pour faire les calculs en fonction des nombres en jeu...
C´est ça qui fait pas cohérent !
C´est pour ça que je cherche cette hypothétique définition générale, valable pour tous les cas, et avec laquelle, quand on l´utilise, on retrouve "tout seul" les équivalences simples, de l´écriture exponentielle aus imple produit multiple.... Ce serait étonnant que ça n´existe pas quand même...je le redis, la rigueur mathématique en prendrait un coup !

Oui, je voulais écrire y=-x, désolé.

Cela arrive souvent en maths qu´une même notation ait un sens différent selon le contexte Par exemple, on note parfois f^n pour fofo..of n fois où f est une fonction de R dans R et o l´opérateur de composition de deux fonctions. C´est obligatoire, si on veut éviter des notations très lourdes et pénibles à rédiger et à lire, le tout est de comprendre le sens de ce que l´on écrit.

On peut malgré tout trouver une définition générale de a^b pour a réel non nul et b réel quelconque. Mais cette définition n´est pas très satisfaisante et un peu complexe comme Tbop2 la fait remarquer. En fait, on voudrait écrire a^b=exp(b*Log(a)) où Log est une fonction à définir et on veut que cette définition généralise les puissances entière ainsi nécessairement exp(Log(a))=a pour tout a. Donc Log doit être la fonction réciproque de exp sur R* or exp(R) est inclus dans R+, on ne risque donc pas de trouver une fonction Log qui convient en restant dans R car pour a négatif, on aura nécessairement exp(Log(a))>0. On plonge donc dans C car exp(C)=C* et donc on peut atteindre les négatifs. Mais malheureusement, on peut montrer qu´il n´existe pas de fonction f:C*->C* telle que pour tout z dans C*, exp(f(z))=z qui soit continue. On peut par contre trouver une telle fonction si on enlève au moins une demi droite (R+)exp(ia) au plan complexe. Cette fonction Log peut être choisi de manière à correspondre au logarithme usuel sur R+*. On peut par exemple poser, en enlevant la demi droite (R+)exp(-i*Pi/2), pour tout z dans U=C privé de (R+)exp(-i*Pi/2), si z=r*exp(ia) avec a dans ]-i*Pi/2,3*i*Pi/2[, Log(z)=ln(r)+ia, notamment pour x réel positif : Log(-x)=ln(x)+i*Pi et on a bien exp(Log(-x))=-x et pour n entier exp(n*Log(-x))=(-x)^n.
Mais cette fonction n´a pas de bonnes propriétés comme le ln, on n´a plus notamment, Log(z*z´)=Log(z)+Log(z´)