Bonjour,

Ma question peut vous paraître un peu stupide mais je ne comprend pas pourquoi 0^0 = 1.

Faut-il simplement l´admettre ou exite t-il une démonstration?

C´est une convention en effet, mais justifiée car si 0^0=0 ça poserait des problèmes.

C´est juste qu´une somme vide est par convention égale à 0, et un produit vide est par convention = 1 ( car 1 est l´élément neutre de la multiplication des réelles non nuls ) de cela découle 0!=1 pour le calcul des (Cnk) c´est bien pratique aussi sinon il y aurait des incohérences logiques.

Pour une démonstration, il y en a peut etre une en disant que la fonction exp(x*ln(x)) peut se prolonger par continuité sur R+, en faisant tendre vers 0 l´expression :

x*ln(x) -> 0 ( par croissance comparée )

d´où par composition :

exp(x*ln(x)) -> exp(0) -> 1

Je ne vois pas trop quoi dire de plus, l´analyse parle d´elle même ^^, je dirai que c´est un des résultat qui nous pousse à accepter la convention.

Bon bah ok si tu le dis ^^

Je vais l´admettre..

C´est pas vraiment admettre puisque c´est une convention

Excuse en me relisant je me dis que j´y suis peut allé un peu fort, mais bon je ne connais pas ton niveau je me suis juste fié à ton age.

En clair, tape exp(x*ln(x)) ( qui équivaut à b^b où b appartient à R*+ ) sur ta calculatrice graphique et voit par toi même son comportement au voisinage de 0.

Merci Tbop2

en effet, je me suis posé la question à un moment, mais c´est une convention : tout nombre à la puissance 0 est par convention égal à 1
et heureusement d´ailleurs, car sinon, on ne pourrait écrire que des nombres pairs en binaires !

Hum convention que a^0 = 1 (pour a appartenant à R+*)?

Je ne vois pas où est la convention, on sait que a^x peut s´écrire sous la forme exp(x*ln(a)), et exp(0*ln(2))= 1 = a^0 .

non, pour tout réel non nul.
désolé, mais je maitrise pas tellement la calculette graphique...
mais y´a un truc que je pige pas : au début, tu dis toi même que c´est une convention, et là, le contraire... (au passage, si, on l´admet, puisque c´est une convention).
sinon, quand je tappe 0^0, je trouve que c´est incalculable, défaut des calculettes ?

Tbop. Sauf que je penses qu´historiquement, ca a été défini a l´envers.
Un historien des maths pour confirmer ?

"sinon, quand je tappe 0^0, je trouve que c´est incalculable, défaut des calculettes ?"

Non, c´est juste que ça n´existe pas 0^0.

exp(x*ln(x)) n´est pas définie en 0 car ln(x) est définie sur ]0;+oo[.

bah dans ce cas faut tout rectifier car au début, Tbop affirme que 0^0 = 1 pra convention

godrik :
Tout dépend de la façon dont on considère les choses. On peut définir simplement les puissances entières : pour x réel (strictement positif pour simplifier) et n entier, on pose x^n=1*x*..*x (où il y a n multiplications par x).
On remarque alors que pour ces nombres, on a x^n=exp(n*ln(x)), mais exp(y*ln(x)) a un sens pour x positif et y réel quelconque et non plus seulement y entier. On décide donc de définir de manière plus générale : pour x>0 et y réel, x^y=exp(y*ln(x)).
On voudrait bien définir alors 0^0 comme la limite de exp(y*ln(x)) lorsque ||(x,y)||=racine carrée(x^2+y^2) tend vers 0. Malheureusement cette limite n´existe pas : il n´y a donc pas de choix vraiment parfait pour 0^0. Par contre, comme notamment la limite de x^x lorsque x tend vers 0 est 1 et qu´en reprenant la définition initiale de la puissance entière (x^n=1*x*..*x (où il y a n multiplications par x)), on obtient avec x=n=0, 0^0=1. On choisit souvent (mais pas toujours !) de poser 0^0=1.

tout nombre à la puissance 0 est par convention égal à 1

Ca ce n´est pas une convention pour a appartenant à R+* c´est ce que je t´ai dis !

Ce n´en est qu´une pour 0^0.

dans ce cas, c´en est une aussi pour R-.
mais je repose ma question : si c´est une convention, pourquoi la calculette ne l´affiche pas ?

"dans ce cas, c´en est une aussi pour R-"

Je comprend pas le rapport, tu veux dire pour a^(-x) ?

Peut-être parce que la calculette tente de le calculer.

Rah je viens de formater, j´ai pas eu le temps de tout réinstaller je te montrerai bien la fonction x^x pour que tu comprennes mais impossible de la trouver sur le net.

bah tu dis que c´est pas une convention pour R+* donc logiquement, pour R- et uniquement R- c´en est une.

Bon est-ce qu´on parle de la même chose ?

Tu parles de a appartenant à R-

où x appartenant à R-

"bah tu dis que c´est pas une convention pour R+* donc logiquement, pour R- et uniquement R- c´en est une"

A parce que pour toi une propriété valable sur une partie d´un ensemble ne l´est logiquement pas pour le reste de cet ensemble ?

Bon en y réfléchissant bien tu sembles faire allusion au a.

Là je ne vois pas trop quoi répondre pour l´instant, sachant que (-a)^x n´est pas une fonction continue sur R.

A première vue, je dirai que ça doit se démontrer avec l´exponentielle complexe.