Trop de Yop ?

Ouais , je les alligne . ..

http://www.yoplait.ca/yop/images/i_produit_01.jpg

Tout a fait Jarozse

En gros, Fourrier, ça prend une courbe, et ça l´approxime en la décomposant astucieusement.
Cette approximation, c´est des nombres : Et avec ces nombres, tu reconstruis la courbe.
L´intéret, c´est que plus tu as de nombres, plus la courbe reconstruite est précise.
Si tu en as peu, la courbe reconstruite est grossiere.

Fourier est donc utilisé dans la compression de courbes :
Tu as une courbe, une belle courbe que tu veux garder en mémoire :
tu la décompose en série de Fourier, et, selon la qualité que tu veux, tu gardes 5 nombres, 10, 20, 50, 1000 si tu veux ! !
Et plus tu en gardes, plus, a la sortie, quand tu décompresses, c´est précis.
L´avantage, c´est que ranger quelques nombres dans un fichier, ça prend beaucoup moins de place que ranger la courbe elle meme...

L´autre avantage : tu regles le niveau de compression ( en disant qu´il faut garder 10,20, 50 nombres...)
Donc tu peux choisir, pour un MP3, la qualité sonore, pour un JPG, la qualité visuelle...

Vous allez me dire : quel rapport entre courbe et son ? et entre courbe et photo ? ?

Pour courbe et son, c´est facile a comprendre :
une onde sonore, c´est une courbe : donc on comprend aisément comment on peut profiter de Fourier
( on parle de DCT : Discret Cosinus Transform)
En outre, le MP3 subit derriere uen deuxieme compression, la " psycho", qui est encore autre chose.
( étude d´élimination des bruits non entendus par l´espece humaine, du a infra/ultra son, ou alors petit son juste avant un tres fort)

Pour l´image, c´est plus dur a comprendre, car on considere des courbes 3D :
Imaginez qu´une image est une surface x,y : un terrain en fait.
Imaginez maintenant que plus un pixel est clair, plus le terrain a cet endroit est haut.
Plus il est foncé, plus le terrain est bas. On appelle ce principe le HeightMapping
ça donne ainsi une surface pleine de monts et de creux, un beau terrain 3D : par exemple la :
http://inertia.curvedspaces.com/Projects/Heightmapping/screenshot1.jpg
Ici, ça représenterai une image noire avec un point blanc dégradé au milieu, compris le principe ?

Bon, c´est la qu´on applique Fourrier, pour encoder cette courbe, qui est sur une dimension de +.
On stocke les chiffres et on peut ainsi recréer le Heighmap, donc l´image !
Voila comment marche - en gros - le JPG.

• le principe du heigmapping est tres utilisé dans la conception de jeuxvideos.

Le fait également de prendre une courbe moins précise, ça " enleves" les complexités de la courbe :
Pour la musique, ça enleve entre autre les parasites ( mais aussi un peu de musique hein, car ça baisse la qualité...)
Pour l´image, ça enleve entre autre les poussieres, car une poussiere, c´est un violent contraste de couleur, qui se traduirait par un gros pic bien raide
dans notre terrain...

On comprend aussi pourquoi le JPG est puissant dans le domaine de la photo et nul dans le domaine du dessin :
dans une photo, d´un pixel a celui d´a coté, il n´y a pas de grosse différence : souvent, l´image entiere est un dégradé :
Si on regarde notre terrain, cela se traduit par des pentes douces : Fourier permet, avec peu de nombres, de stocker des pentes douces...
Pour un dessin, si par exemple vous écrivez un caractere noir sur un fond blanc, ou alors que vous dessinez un contour de bonhomme noir sur fond blanc,
alors il arrive des cas ou d´un pixel a celui d´a coté, il y a une cassure énorme : ça passe du noir au blanc d´un seul coup :
Sur notre terrain, ça se traduit par uen falaise raide...
Et comme Fourier a tendance a adoucir les courbes, surtout s´il y a peu de nombre, un texte encodé en JPG sera moche a la sortie :
autour d´une lettre noire, il y aura des points gris bien sales ! Faites l´essai ! !

Voila pour l´application de Fourier dans la compression ! !

• Note : on parle de compression avec perte : car quand on décompresse, on ne retrouve jamais exactement l´original a l´octet pret, normal !

Donc ça va pour la musique, ou pour les photos, mais ça ne va pas du tout pour zipper quelque chose dont le but est de le retrouver intact.
Le zip et les compressions sans pertes c´est une autre histoire encore

Merci pour ces explications JeanYvesYves .

C´est moins superficiel que la page d´introduction du chapitre sur les intégrales de mon livre de maths concernant les JPG

C´est aussi moins rigoureux, mais ça permet de comprendre

Les mathématiciens ne te diront jamais :

si tu as X, tu peux avoir Y
sans te dire, AVANT :

il faut que X soit comme ça, dans ce cas, qu´il aie la propriété suivante, qu´il lave les gosses, sorte le chien...

Ce qui saoule pas mal de monde, mais est + rigoureux que mon explication qui te dit juste les possibilités sans rentrer dans le détail

Bien sûr mais là on parlait plus de physique que de maths pures . Et ce que j´aime dans les maths c´est justement toutes les conditions : que tout soit clair .

De toutes facon je me suis toujours dit que les maths n´existent pas... Faut etre logique : 1+1 = 1+1 . .. 3x + 2x = 3x + 2x ^^

J´aimerais ajouter que vous pouvez voir l´effet de la transformée de Fourier sur les images sur Internet. Lorsque votre ordinateur télécharge une image ( ou au moins à l´époque des 56k), il affiche d´abord une image toute crade avec des gros pixels, qui s´affine peu à peu. Ce sont les différentes composantes de la Transformée de Fourier qui arrive peu à peu, et le plus saisissant c´est que pour une image basique ( on ne parle pas ici d´une image de qualité mais d´une bête photo), trois coefficients en général suffisent pour retrouver une très bonne qualité d´image.

Pour ceux que ça intéresse, une transformée de Fourier, c´est très long à faire, c´est ainsi qu´on a inventé la FFT ( Fast Fourier Transform), qui permet de réduire considérablement le nombre de calculs en calculant " intelligemment". Je sais bien que tout le monde s´en fout, mais je suis tombé dessus en ADS aux concours, alors... ^^

" car quand on décompresse, on ne retrouve jamais exactement l´original a l´octet pret, normal ! "

D´ailleurs si on décompresse comme un brutos, avant même d´avoir des pertes, on peut avoir une superposition des différentes composantes, d´où l´utilité des filtres anti-aliasing pour supprimer tout cela.

intéressant ce petit topic, un autre procédé de compression : les ondelettes, que je pourrais ( mais c´est pas sur) un peu expliquer vu que j´ai vu une conférence ( magnifique) d´Yves Meyer, celui qui a inventé ces ondelettes...

sinon pour répondre à la question initiale, sans maths il n´y aurait pas de physique moderne ( quantique par ex...).
Enfin Platon disait qu´il fallait faire des maths pour apprendre à philosopher...ça permet effectivement de développer un certain sens du raisonnement sain...

Tout a fait, j´ajoute que dans le passé, les grand philosophes étaient aussi les grands mathématiciens, car il y a la meme logique entre les deux ( Pascal par exemple)

sympa içi ! Moi perso je minterrse beaucoup au math, comprendre certains signes et de téoremes par exemple...

quelqun a dit precedemmen et ke je suis touta fait daccor, cest que ca permet de raisonné les math et a developper notre logique...

moi je dit aussi que les maths sont trés importantes aussi dans la medecine, car grace aux maths il y a beaucoup de vies sauvés graces au vaccin, opérations avec les radiations pour soigner certains cancer etc...non ?

rolf

Perso, j´ai quand même l´impression qu´une partie non négligeable des études mathématiques a pour principal but de satisfaire la curiosité du mathématicien...

Evidemment !
Moi je suis en math depuis deux ans et j´adore ca !
Mais c´est clair que je deviens super curieux.
Quand on a dépassé le stade de l´overdose, on commence à trouver ca beau, c´est remarquablement agencé les math... Parfois une définission que tu avais vu des mois avant et sans grande signification réaparait comme une révellation et tu comprend meme plus ce qui t´arrive !

Mais svp ne me parlez plus de Fourier, j´ai exam d´analyse le 1er juin et j´en ai un peu raz la cacahuette de Fourier

Héhé ! ! pourtant, les JPG et les MP3, c´est Fourrier
mais bon, une fois implémenté dans une fonction, tu ne t´en occupe plus, tu appelles la formule magique, et hop ! tu décompresse ton JPG ou ton MP3

apparament y´en a qui aiment bien les maths ici, alors voici ma petite question : quelqu´un pourrait-il me donner le lien ou un document où il y´a la demonstration du dernier theorème de Fermat, fait par endrew wiles ?

tantale
Posté le 23 mai 2005 à 14:41:34
Perso, j´ai quand même l´impression qu´une partie non négligeable des études mathématiques a pour principal but de satisfaire la curiosité du mathématicien...

Certes, mais pour le moment, quasiment tout ce que j´ai vu ( pour ne pas dire tout) est utile dans un autre domaine...

micjutsu
Posté le 23 mai 2005 à 20:00:18
apparament y´en a qui aiment bien les maths ici, alors voici ma petite question : quelqu´un pourrait-il me donner le lien ou un document où il y´a la demonstration du dernier theorème de Fermat, fait par endrew wiles ?

La démo n´est pas apparemment trouvable facilement. Elle a été publiée dans Annales of Mathematics, mais elle est réputée pour être VRAIMENT difficile à comprendre. Pourtant moi aussi j´aimerais y jeter un coup d´oeil, " pour voir" ^^

je sais elle est très difficile a comprendre ( quelques personne au monde y arrivent...), mais comme toi c´est juste pour voir a quoi ça resemble, et admirer la puissance d´un cerveau humain! je pense qu´une foi je l´aurai vu j´aprecierai encore plus les maths

Bon, je l´ai trouvé :

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/download.php/2,2605/wiles.pdf

Rappel : il s´agit d´une démonstration de la conjecture de Taniyama-Shimura, et non directement du théorème de Fermat, car on avait rpouvé aupravant que la démonstration de la conjoncture impliquerait la démonstration du théorème de Fermat.

c´est pas vraiment la demonstration, c´est seulement un bout. la vrai fait a peu près 1000 pages. il est vrai que wiles s´est servit des travaux de taniyama-shimura ( un des 2 s´est suicidé après...) comme point d´appui, et celle-ci est très réduite. celle de wiles comprend beaucoup d´annexe qui font reference a d´autre théoreme, d´ailleur il en as résolu plusieurs en meme temps.
pour l´histoire, il a mis 4 ans a le résoudre ( 3ans mais y´avait une faute, il l´a corrigé la 4ième)