bonqu´es que tu veux dire par comb...x-man j´aimerais savoir si non une fille c rare mais c bien bon j´espere ne pas me faire défoncer par toi se serais la honte -->je ne suis pas sexiste enfin bon je te laisse au soin de x-man qui a on le dirais une folle envie te tt te raconter (pas trop de cochonneries x-man je t´es a l´oeil) bon voila mishmoul tu nous tien au courrant
TCH@o
CBOULB@

je voulais dire combien jai eu un pb de clavier sinon ben je m´occuper de notre amie et voila, donc combien ca sera la sale alor?

ouai j´ai l´impression que mishmoul s´est trouvé une meuf ou il nous a oublié lol bon voila
up man
TCH@o
CBOULB@

Ola pas de panique , je me suis rien trouvé du tout , je demanderai pour la salle mardi (les mardis , je vais pas a la cantine , je me fais du counter) mais le probleme , c´est que les trucs le samedi c´est le soir alors c´est pas sur qu´ils veulent bien nous la passer pour l´aprem m´enfin,je vous tient au courant .

g pa piG ton truc de mardi-samedi mishmoul c koi? sinon Maellia ya pa dautres filles au tournoi (et c bien domage ^^)

En fait pas loin du lycée y´a un espece de bar internet avec retro projecteur et je vais manger la bas le mardi devant counter strike , mais ils font des soirées le samedi que le soir ou alors faudrait avoir la salle un mercredi mais c´est pas pratique .

Ah... bon tant pis... c pas grave je viens quand même, de toute façon au moins je suis sure de e battre x-man...

un mercredi le pb c ke les gens peuvent pas finir tard, mais au moins on es sur davoir du monde l´apres midi, tant dis que samedi, yen a pl1 ki fon des truks le week-end! sinon Maellia, la dernier fois tu ne m´a eu que d´1 poin allors bon...

Ouais c´est ca le probleme mais je vais demander si je peux avoir la salle un samedi apres midi .

up

oula c cho entre x-man et maellia lol bon sinon
si tu veux 1 coup de main mishmoul pour la salle pas de problemes car ca a l´air cool bon sinon c coi votre liste de noel coté jeu?
TCH@o
CBOULB@

Moi je vais me prendre mario party 4 .

ya mon oncle ki revien des U.S a noel je vai pouvoir me prendre + de cadox:

-MP 4
-TS2
-Halo
-Hunter: The reckoning
-Metroid fusion (et prime si i sort)

sinon jai recup mon micro il es come neuf si vs vouler parler par msn c + simple

Pas de probleme !

Instruisez-vous et ne soyer plus des incultes grâce à Herr Professor. Avec lui vous cesserez de vous abrutir avec des jeux débiles sur une console de merde.

Le sujet du jour : LA GEOMETRIE ET GROUPES (vectoriel)

GROUPES (Mathématiques) - Groupes classiques et géométrie
Jusque vers 1800, la géométrie dite «ramener l’étude à celle du groupe G lui-même.
Les , correspondantes comme essentiellement achevéeset multilinéaire, exprimés dans le langage géométrique des espaces vectoriels ou projectifs (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE); il pourra voir combien l’algèbre linéaire facilite, dans ces groupes, la solution de problèmes qui présentent de grandes difficultés dans des groupes quelconques.
de E Z E dans R, qui est en outre supposée symétrique , c’est-à-dire que:
pour x R 0 dans E. La donnée d’une telle application définit dans E une notion d’ orthogonalité : x , y dans E sont dits orthogonaux si l’on a (x |y ) = 0 (relation symétrique en x et y ). On dit que deux sous-espaces vectoriels V, W de E sont orthogonaux si tout vecteur de V est orthogonal à tout vecteur de W; pour un sous-espace vectoriel V donné, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de V est le plus grand sous-espace vectoriel orthogonal à V; on l’appelle l’orthogonal de V et on le note VM. On a les relations:
L’exemple classique de produit scalaire dans Rn est:
inversement, pour tout produit scalaire (x |y ) sur E, il existe une base dite orthonormale (e j ) de E telle que:
Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est ce qu’on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d’espace euclidien pour lesquelles les notions d’orthogonalité sont distinctes; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l’existence des bases orthonormales. On suppose dans ce qui suit que le produit scalaire est fixé , et on pose Êx Ê =(x |x )1/2 (longueur du vecteur x ).
On appelle similitude de E une transformation linéaire u ª GL(E) telle que:
quels que soient x , y dans E, où m = m(u ) est une constante R 0 dite multiplicateur de u ; on a nécessairement m O 0 comme on le voit en faisant y = x R 0. Si U est la matrice de u rapporté à une base orthonormale , il revient au même de dire que:
Les similitudes forment un sous-groupe GO(E) 4 GL(E), et u è m(u ) est un homomorphisme de ce groupe sur le groupe multiplicatif R *+ des nombres réels O 0; son noyau O(E) est appelé le groupe orthogonal de E (pour le produit scalaire considéré); c’est donc le sous-groupe de GL(E) formé des u tels que:
on peut montrer que c’est aussi le groupe de toutes les applications – non supposées linéaires a priori – telles que u (0) = 0, Ê u (x ) Ê = Ê x Ê pour tout x ª E.
Toute homothétie h l est une similitude de multiplicateur l2; toute similitude de multiplicateur m s’écrit d’une seule manière h l e v , où l = m et v ª O(E); GO(E) est produit direct du groupe O(E) et du groupe multiplicatif Z+(E) des homothéties de rapport O 0, isomorphe à R *+.
Pour une transformation orthogonale de matrice U , on a, d’après la formule (1), (det U )2 = 1; le sous-groupe O+(E), ou SO(E), des transformations orthogonales de déterminant l (aussi appelées rotations ) est d’indice 2 dans O(E). Les similitudes appartenant au sous-groupe:
sont dites directes , les autres inverses . Lorsque E = Rn , on suppose toujours que Rn est muni du produit scalaire classique, et on écrit O(n , R) [resp. O+(n , R) ou SO(n , R)] au lieu de O(Rn ) [resp. O+(Rn )] et on l’identifie avec le groupe des matrices orthogonales (i.e. telles que t U = U -1). Si E est de dimension n , le plane, bien qu’il soit commode de parler de la «rotation d’angle j» et de la noter:
Puisque, par définition, r est un isomorphisme de u sur O+(2, R), on a:
Par définition, les éléments a et b dans la matrice: se notent cos j et sin j et s’appellent le cosinus et le sinus de l’angle j ª u. Les formules pré dente s sur r se traduisent en les formules dites « trigonométriques »:

qui ne font donc que transcrire des propriétés du groupe O+(2, R).
Pour deux vecteurs x et y de R2 de même longueur Êx Ê = Êy Ê R 0, il existe une rotation u et une seule telle que u (x ) = y ; l’angle j de cette rotation est appelé l’angle de y avec x et noté (x , y ). Si les deux vecteurs sont unitaires, on a cos j = (x | y ).
Si x , y , z sont trois vecteurs de même longueur dans R2, on a:

Le groupe des angles u contient des éléments d’ordre fini : par exemple, l’angle droit d qui correspond au nombre complexe i ª U ou à la matrice:

on a 4 d = 0 (un angle de «quatre droits» est l’angle nul ). Il n’est donc pas possible de définir sur u une relation d’ordre pour laquelle les relations j O 0, jH O 0 entraîneraient j + jH O 0, et il est absurde de parler d’un angle «plus petit qu’un autre». Il est tout aussi absurde de considérer un angle comme une «grandeur mesurable», puisqu’on sait que, pour de telles grandeurs, il y a une relation d’ordre du type précédent. Par contre, une propriété fondamentale du groupe U est l’existence d’un homomorphisme continu f, noté:

du groupe additif R sur U, qui est automatiquement dérivable et est le seul homomorphisme continu tel que fH(0) = i . Il est périodique et sa plus petite période positive est 2 p (ce qui définit le nombre p). Le cosinus et le sinus d’un nombre réel t se définissent alors par:

l’angle r tel que r(r) = e i est appelé radian et, si, pour un angle j, on a r(j) = e it , on dit (improprement) que t est une «mesure en radians» de j (il y en a une infinité de différant de multiples entiers de 2p; cf. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME). On a vu plus haut (Générateurs du groupe orthogonal ) que toute rotation r(j) est produit de deux symétries orthogonales s 1, s 2 autour de deux droites D1, D2; si x 1 ª D1 et x 2 ª D2 ont la même longueur et si (x 1, x 2) = y, on a j = 2y. Notons enfin que O+(2, R) est le groupe des commutateurs de O(2, R).
Structure des transformations orthogonales
Pour toute transformation orthogonale u ª O(E), il y a une décomposition de E en sous-espaces deux à deux orthogonaux V, W, P1, P2..., Pr stables par u et tels que:
a ) la restriction de u à V est l’identité;
b ) la restriction de u à W est la symétrie x è _ x ;
c ) chacun des Pj est un plan (espace de dimension 2) et la restriction u j de u à Pj est une rotation distincte de l’identité et de x è _ x .
Si Qj est une isométrie de P sur R2, il existe un angle jj distinct de 0 et de 2d tel que u j = Qj -1r(jj )Qj , et jj est déterminé «au signe près» indépendamment du choix de Qj ; les valeurs propres de u sont 1 (de multiplicité dim V), _ 1 (de multiplicité dim W) et les e Ai jj (ces dernières peuvent être multiples si jj = A jk pour j R k ).
On a det (u ) = (_ 1)dim W; par suite, si u ª O+(E) et si dim E est impair (resp. u O+(E) et dim E pair ), W est nécessairement de dimension paire (resp. impaire); donc V ne peut être réduit à 0, en d’autres termes il existe au moins un vecteur x R 0 invariant par u .
Simplicité du groupe O+(3, R)
Montrons que tout sous-groupe distingué N de O+(3, R) non réduit à l’identité est nécessairement égal à O+(3, R). Supposons donc qu’il existe u R 1E dans N, de sorte que (cf. supra, Structure des transformations orthogonales ) il existe une droite D dont tous les points sont invariants par u , et la restriction de u au plan P = DM est une rotation d’angle j R 0 (déterminé «au signe près»). Distinguons trois cas:
a ) Cos j = _ 1 ou j = 2d, autrement dit u est un renversement ; mais, comme N est distingué, il contient tous les renversements (cf. supra, Propriétés de transitivité et de conjugaison , in chap. 2), et donc il est égal à O+(3, R) (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).
b ) Cos j S 0. Soit e 3 un vecteur de longueur 1 dans D, e 1 un vecteur de longueur 1 dans P et e 2 = u (e 1) ª P; on a (e 1 | e 2) = Cos j S 0. Considérons un vecteur x = le 3 + e 1; on a u (x ) = le 3 + e 2, donc (x | u (x )) = l2 + Cos j, et, en prenant l = (_ Cos j)1/2, on obtient un vecteur tel que (x | u (x )) = 0 . Soit alors v le renversement d’axe Rx ; uvu -1 est le renversement d’axe Ru (x ). Comme N est distingué,

et c’est le renversement d’axe orthogonal au plan Rx ® Ru (x ). On est ainsi ramené au cas a .
c ) 0 S Cos j S 1. On voit aisément qu’il existe un entier n O 0 tel que Cos n j S 0; comme u n ª N, il suffit d’appliquer le cas b à u n et la démonstration est achevée.
Les groupes O+(n, R) pour n P 4
En utilisant la simplicité du groupe O+(3, R), on peut, par un raisonnement tout aussi élémentaire mais assez long, prouver que:

est simple pour n P 5; cela entraîne que, si n P 5 est pair, il ne peut y avoir de sous-groupe G de O+(n , R) tel que O+(n , R) soit produit semi-direct de Z0 et de G, car G serait d’indice 2, donc distingué. Par contre, le groupe O+(4, R) a une structure tout à fait exceptionnelle, liée à l’existence du corps des quaternions H (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 2). Identifiant H et R4 on montre en effet que toute rotation de R4 peut s’écrire x è sxt , où s et t sont deux quaternions tels que N(s )N(t ) = 1; en outre, si sxt = s Hxt H pour tout x ª H, on a nécessairement s H = ls , t H = l-1t pour un l ª R. On en déduit que le groupe O+(4, R)/Z0 est isomorphe au produit de deux groupes simples isomorphes à O+(3, R); mais Z0 n’est pas facteur direct dans O+(4, R).
Spineurs
L’algèbre des quaternions sur R se généralise de la façon suivante. Pour tout entier n P 2, il existe une algèbre Cn sur R, de dimension 2n , dite algèbre de Clifford d’indice n , qui est engendrée, en tant qu’algèbre, par l’élément unité 1 et n éléments e j (1 D j D n ) identifiés à la base canonique de Rn , et qui sont assujettis à vérifier les conditions suivantes:

On montre que les 2n produits:

(où 0 D p D n , i 1 S i 2 S . . . S i p ) forment une base sur R de l’espace vectoriel Cn . Ceux de ces éléments pour lesquels p est pair forment une sous-algèbre C+n de Cn , de rang 2n-1 sur R. Pour deux vecteurs a et x de Rn 4 Cn , on a ax + xa = _ (x | a ) dans Cn , donc _ 2(a | a ) = a 2 et finalement, si a R 0,

ce qui prouve que l’application x è _ axa -1 de Rn dans lui-même n’est autre que la réflexion orthogonale s a de droite Ra (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).
Le groupe multiplicatif engendré dans C+n par les produits ab , où a et b varient dans Rn _ (0) et sont de longueur 1, est noté Spin(n ); on montre qu’il existe un homomorphisme surjectif et un seul s: Spin(n ) X O+(n , R) tel que sab = s a s b ; le noyau de cet homomorphisme est formé de l’identité et de _ 1, mais Spin(n ) n’est pas produit semi-direct de ce sous-groupe et d’un groupe isomorphe à O+(n , R). Lorsque l’on considère C+n comme un espace vectoriel sur lequel Spin(n ) opère par multiplication à gauche, les éléments de C+n sont appelés spineurs (cf. GROUPES – Groupes de Lie).
3. Les groupes orthogonaux des formes non positives
Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque F(x , y ); pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à F) telle que:

et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées («loi d’inertie»); on dit que (p , n _ p ) est la signature de F; un produit scalaire est donc une forme de signature (n , 0).
La différence fondamentale entre le cas 1 S p S n et les cas p = n et p = 0 réside dans l’existence de desLa relation G est une relation d’équivalence et l’ensemble quotient EH/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L’ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P(E). Une classe d’équivalence, élément de P(E), est appelée point projectif; on désigne par p l’application canonique qui à un élément de EH associe sa classe dans P(E). Lorsque E = Kn +1, l’espace projectif déduit se note Pn (K). Si E est de dimension n + 1, la dimension de P(E) est, par définition, n . Il faut toutefois remarquer que P(E) n’est pas un espace vectoriel.
L’espace projectif réel ou complexe Pn (R) ou Pn (C) est une variété compacte non orientable. L’espace affine réel ou complexe de dimension n se plonge de manière naturelle dans cet espace projectif; ce plongement correspond géométriquement à l’adjonction de «points à l’infini», réels ou imaginaires, à cet espace affine.
Variété linéaire projective . Soit F un sous-espace vectoriel de E, l’image par p de FH = F — (0) est, par définition, une variété linéaire projective de P(E). On peut aisément montrer que l’intersection d’une famille quelconque de variétés linéaires projectives est une variété linéaire projective et que l’espace vectoriel sous-jacent de cette intersection est l’intersection des espaces vectoriels sous-jacents des variétés de la famille. Une variété projective déduite d’un hyperplan de E s’appelle un hyperplan projectif, et sa dimension (lorsque dim (E) = n + 1) est égale à n — 1; un espace projectif de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite projective (resp. plan projectif). Soit X un sous-ensemble de P(E); on appelle variété linéaire engendrée par X l’intersection de toutes les variétés linéaires contenant X. Soit k + 1 points de P(E); on dit qu’ils forment une partie projectivement libre si la dimension de la variété engendrée par bien que P(E) ne soit pas un espace vectoriel, la notion d’indépendance se conserve. Par suite, on a des énoncés de théorèmes sur les dimensions équivalents aux énoncés sur les dimensions des sous-espaces vectoriels, en particulier le théorème de la «base incomplète».
Coordonnées homogènes; repère projectif . Soit B = (ei ), 1 D i D n + 1, une base de l’espace vectoriel E de dimension n + 1. Tout élément x de E s’écrit:

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Les quelconque tricheurs se feront attribués la note 0

Le sujet de demain : L’évolution sexuelle chez les rats

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Le sujet du jour : LA GEOMETRIE ET GROUPES (vectoriel)

GROUPES (Mathématiques) - Groupes classiques et géométrie
Jusque vers 1800, la géométrie dite «ramener l’étude à celle du groupe G lui-même.
Les , correspondantes comme essentiellement achevéeset multilinéaire, exprimés dans le langage géométrique des espaces vectoriels ou projectifs (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE); il pourra voir combien l’algèbre linéaire facilite, dans ces groupes, la solution de problèmes qui présentent de grandes difficultés dans des groupes quelconques.
de E Z E dans R, qui est en outre supposée symétrique , c’est-à-dire que:
pour x R 0 dans E. La donnée d’une telle application définit dans E une notion d’ orthogonalité : x , y dans E sont dits orthogonaux si l’on a (x |y ) = 0 (relation symétrique en x et y ). On dit que deux sous-espaces vectoriels V, W de E sont orthogonaux si tout vecteur de V est orthogonal à tout vecteur de W; pour un sous-espace vectoriel V donné, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de V est le plus grand sous-espace vectoriel orthogonal à V; on l’appelle l’orthogonal de V et on le note VM. On a les relations:
L’exemple classique de produit scalaire dans Rn est:
inversement, pour tout produit scalaire (x |y ) sur E, il existe une base dite orthonormale (e j ) de E telle que:
Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est ce qu’on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d’espace euclidien pour lesquelles les notions d’orthogonalité sont distinctes; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l’existence des bases orthonormales. On suppose dans ce qui suit que le produit scalaire est fixé , et on pose Êx Ê =(x |x )1/2 (longueur du vecteur x ).
On appelle similitude de E une transformation linéaire u ª GL(E) telle que:
quels que soient x , y dans E, où m = m(u ) est une constante R 0 dite multiplicateur de u ; on a nécessairement m O 0 comme on le voit en faisant y = x R 0. Si U est la matrice de u rapporté à une base orthonormale , il revient au même de dire que:
Les similitudes forment un sous-groupe GO(E) 4 GL(E), et u è m(u ) est un homomorphisme de ce groupe sur le groupe multiplicatif R *+ des nombres réels O 0; son noyau O(E) est appelé le groupe orthogonal de E (pour le produit scalaire considéré); c’est donc le sous-groupe de GL(E) formé des u tels que:
on peut montrer que c’est aussi le groupe de toutes les applications – non supposées linéaires a priori – telles que u (0) = 0, Ê u (x ) Ê = Ê x Ê pour tout x ª E.
Toute homothétie h l est une similitude de multiplicateur l2; toute similitude de multiplicateur m s’écrit d’une seule manière h l e v , où l = m et v ª O(E); GO(E) est produit direct du groupe O(E) et du groupe multiplicatif Z+(E) des homothéties de rapport O 0, isomorphe à R *+.
Pour une transformation orthogonale de matrice U , on a, d’après la formule (1), (det U )2 = 1; le sous-groupe O+(E), ou SO(E), des transformations orthogonales de déterminant l (aussi appelées rotations ) est d’indice 2 dans O(E). Les similitudes appartenant au sous-groupe:
sont dites directes , les autres inverses . Lorsque E = Rn , on suppose toujours que Rn est muni du produit scalaire classique, et on écrit O(n , R) [resp. O+(n , R) ou SO(n , R)] au lieu de O(Rn ) [resp. O+(Rn )] et on l’identifie avec le groupe des matrices orthogonales (i.e. telles que t U = U -1). Si E est de dimension n , le plane, bien qu’il soit commode de parler de la «rotation d’angle j» et de la noter:
Puisque, par définition, r est un isomorphisme de u sur O+(2, R), on a:
Par définition, les éléments a et b dans la matrice: se notent cos j et sin j et s’appellent le cosinus et le sinus de l’angle j ª u. Les formules pré dente s sur r se traduisent en les formules dites « trigonométriques »:

qui ne font donc que transcrire des propriétés du groupe O+(2, R).
Pour deux vecteurs x et y de R2 de même longueur Êx Ê = Êy Ê R 0, il existe une rotation u et une seule telle que u (x ) = y ; l’angle j de cette rotation est appelé l’angle de y avec x et noté (x , y ). Si les deux vecteurs sont unitaires, on a cos j = (x | y ).
Si x , y , z sont trois vecteurs de même longueur dans R2, on a:

Le groupe des angles u contient des éléments d’ordre fini : par exemple, l’angle droit d qui correspond au nombre complexe i ª U ou à la matrice:

on a 4 d = 0 (un angle de «quatre droits» est l’angle nul ). Il n’est donc pas possible de définir sur u une relation d’ordre pour laquelle les relations j O 0, jH O 0 entraîneraient j + jH O 0, et il est absurde de parler d’un angle «plus petit qu’un autre». Il est tout aussi absurde de considérer un angle comme une «grandeur mesurable», puisqu’on sait que, pour de telles grandeurs, il y a une relation d’ordre du type précédent. Par contre, une propriété fondamentale du groupe U est l’existence d’un homomorphisme continu f, noté:

du groupe additif R sur U, qui est automatiquement dérivable et est le seul homomorphisme continu tel que fH(0) = i . Il est périodique et sa plus petite période positive est 2 p (ce qui définit le nombre p). Le cosinus et le sinus d’un nombre réel t se définissent alors par:

l’angle r tel que r(r) = e i est appelé radian et, si, pour un angle j, on a r(j) = e it , on dit (improprement) que t est une «mesure en radians» de j (il y en a une infinité de différant de multiples entiers de 2p; cf. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME). On a vu plus haut (Générateurs du groupe orthogonal ) que toute rotation r(j) est produit de deux symétries orthogonales s 1, s 2 autour de deux droites D1, D2; si x 1 ª D1 et x 2 ª D2 ont la même longueur et si (x 1, x 2) = y, on a j = 2y. Notons enfin que O+(2, R) est le groupe des commutateurs de O(2, R).
Structure des transformations orthogonales
Pour toute transformation orthogonale u ª O(E), il y a une décomposition de E en sous-espaces deux à deux orthogonaux V, W, P1, P2..., Pr stables par u et tels que:
a ) la restriction de u à V est l’identité;
b ) la restriction de u à W est la symétrie x è _ x ;
c ) chacun des Pj est un plan (espace de dimension 2) et la restriction u j de u à Pj est une rotation distincte de l’identité et de x è _ x .
Si Qj est une isométrie de P sur R2, il existe un angle jj distinct de 0 et de 2d tel que u j = Qj -1r(jj )Qj , et jj est déterminé «au signe près» indépendamment du choix de Qj ; les valeurs propres de u sont 1 (de multiplicité dim V), _ 1 (de multiplicité dim W) et les e Ai jj (ces dernières peuvent être multiples si jj = A jk pour j R k ).
On a det (u ) = (_ 1)dim W; par suite, si u ª O+(E) et si dim E est impair (resp. u O+(E) et dim E pair ), W est nécessairement de dimension paire (resp. impaire); donc V ne peut être réduit à 0, en d’autres termes il existe au moins un vecteur x R 0 invariant par u .
Simplicité du groupe O+(3, R)
Montrons que tout sous-groupe distingué N de O+(3, R) non réduit à l’identité est nécessairement égal à O+(3, R). Supposons donc qu’il existe u R 1E dans N, de sorte que (cf. supra, Structure des transformations orthogonales ) il existe une droite D dont tous les points sont invariants par u , et la restriction de u au plan P = DM est une rotation d’angle j R 0 (déterminé «au signe près»). Distinguons trois cas:
a ) Cos j = _ 1 ou j = 2d, autrement dit u est un renversement ; mais, comme N est distingué, il contient tous les renversements (cf. supra, Propriétés de transitivité et de conjugaison , in chap. 2), et donc il est égal à O+(3, R) (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).
b ) Cos j S 0. Soit e 3 un vecteur de longueur 1 dans D, e 1 un vecteur de longueur 1 dans P et e 2 = u (e 1) ª P; on a (e 1 | e 2) = Cos j S 0. Considérons un vecteur x = le 3 + e 1; on a u (x ) = le 3 + e 2, donc (x | u (x )) = l2 + Cos j, et, en prenant l = (_ Cos j)1/2, on obtient un vecteur tel que (x | u (x )) = 0 . Soit alors v le renversement d’axe Rx ; uvu -1 est le renversement d’axe Ru (x ). Comme N est distingué,

et c’est le renversement d’axe orthogonal au plan Rx ® Ru (x ). On est ainsi ramené au cas a .
c ) 0 S Cos j S 1. On voit aisément qu’il existe un entier n O 0 tel que Cos n j S 0; comme u n ª N, il suffit d’appliquer le cas b à u n et la démonstration est achevée.
Les groupes O+(n, R) pour n P 4
En utilisant la simplicité du groupe O+(3, R), on peut, par un raisonnement tout aussi élémentaire mais assez long, prouver que:

est simple pour n P 5; cela entraîne que, si n P 5 est pair, il ne peut y avoir de sous-groupe G de O+(n , R) tel que O+(n , R) soit produit semi-direct de Z0 et de G, car G serait d’indice 2, donc distingué. Par contre, le groupe O+(4, R) a une structure tout à fait exceptionnelle, liée à l’existence du corps des quaternions H (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 2). Identifiant H et R4 on montre en effet que toute rotation de R4 peut s’écrire x è sxt , où s et t sont deux quaternions tels que N(s )N(t ) = 1; en outre, si sxt = s Hxt H pour tout x ª H, on a nécessairement s H = ls , t H = l-1t pour un l ª R. On en déduit que le groupe O+(4, R)/Z0 est isomorphe au produit de deux groupes simples isomorphes à O+(3, R); mais Z0 n’est pas facteur direct dans O+(4, R).
Spineurs
L’algèbre des quaternions sur R se généralise de la façon suivante. Pour tout entier n P 2, il existe une algèbre Cn sur R, de dimension 2n , dite algèbre de Clifford d’indice n , qui est engendrée, en tant qu’algèbre, par l’élément unité 1 et n éléments e j (1 D j D n ) identifiés à la base canonique de Rn , et qui sont assujettis à vérifier les conditions suivantes:

On montre que les 2n produits:

(où 0 D p D n , i 1 S i 2 S . . . S i p ) forment une base sur R de l’espace vectoriel Cn . Ceux de ces éléments pour lesquels p est pair forment une sous-algèbre C+n de Cn , de rang 2n-1 sur R. Pour deux vecteurs a et x de Rn 4 Cn , on a ax + xa = _ (x | a ) dans Cn , donc _ 2(a | a ) = a 2 et finalement, si a R 0,

ce qui prouve que l’application x è _ axa -1 de Rn dans lui-même n’est autre que la réflexion orthogonale s a de droite Ra (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal ).
Le groupe multiplicatif engendré dans C+n par les produits ab , où a et b varient dans Rn _ (0) et sont de longueur 1, est noté Spin(n ); on montre qu’il existe un homomorphisme surjectif et un seul s: Spin(n ) X O+(n , R) tel que sab = s a s b ; le noyau de cet homomorphisme est formé de l’identité et de _ 1, mais Spin(n ) n’est pas produit semi-direct de ce sous-groupe et d’un groupe isomorphe à O+(n , R). Lorsque l’on considère C+n comme un espace vectoriel sur lequel Spin(n ) opère par multiplication à gauche, les éléments de C+n sont appelés spineurs (cf. GROUPES – Groupes de Lie).
3. Les groupes orthogonaux des formes non positives
Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque F(x , y ); pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à F) telle que:

et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées («loi d’inertie»); on dit que (p , n _ p ) est la signature de F; un produit scalaire est donc une forme de signature (n , 0).
La différence fondamentale entre le cas 1 S p S n et les cas p = n et p = 0 réside dans l’existence de desLa relation G est une relation d’équivalence et l’ensemble quotient EH/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L’ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P(E). Une classe d’équivalence, élément de P(E), est appelée point projectif; on désigne par p l’application canonique qui à un élément de EH associe sa classe dans P(E). Lorsque E = Kn +1, l’espace projectif déduit se note Pn (K). Si E est de dimension n + 1, la dimension de P(E) est, par définition, n . Il faut toutefois remarquer que P(E) n’est pas un espace vectoriel.
L’espace projectif réel ou complexe Pn (R) ou Pn (C) est une variété compacte non orientable. L’espace affine réel ou complexe de dimension n se plonge de manière naturelle dans cet espace projectif; ce plongement correspond géométriquement à l’adjonction de «points à l’infini», réels ou imaginaires, à cet espace affine.
Variété linéaire projective . Soit F un sous-espace vectoriel de E, l’image par p de FH = F — (0) est, par définition, une variété linéaire projective de P(E). On peut aisément montrer que l’intersection d’une famille quelconque de variétés linéaires projectives est une variété linéaire projective et que l’espace vectoriel sous-jacent de cette intersection est l’intersection des espaces vectoriels sous-jacents des variétés de la famille. Une variété projective déduite d’un hyperplan de E s’appelle un hyperplan projectif, et sa dimension (lorsque dim (E) = n + 1) est égale à n — 1; un espace projectif de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite projective (resp. plan projectif). Soit X un sous-ensemble de P(E); on appelle variété linéaire engendrée par X l’intersection de toutes les variétés linéaires contenant X. Soit k + 1 points de P(E); on dit qu’ils forment une partie projectivement libre si la dimension de la variété engendrée par bien que P(E) ne soit pas un espace vectoriel, la notion d’indépendance se conserve. Par suite, on a des énoncés de théorèmes sur les dimensions équivalents aux énoncés sur les dimensions des sous-espaces vectoriels, en particulier le théorème de la «base incomplète».
Coordonnées homogènes; repère projectif . Soit B = (ei ), 1 D i D n + 1, une base de l’espace vectoriel E de dimension n + 1. Tout élément x de E s’écrit:

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Le sujet de demain : L’évolution sexuelle chez les rats

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put1 c qui ce herr doctor il casse les couilles
bon c pas grave alors moi je vais essayer d´avoir mario parti peut etre nfs et je sais pas d´autre voila
bon sinon la salle tu nous tien au courrant
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Reponse demain soir .