En fait il n´y a pas d´équivalent. Le son le plus proche serait peut-être un "d" mais en appuyant le "d" le moins possible. D´ailleurs beaucoup d´anglais qui écrivent en langage SMS remplacent "The" par "Da"... Et c´est vrai que ça ressemble pas mal à l´oral ;) Pareil pour beaucoup de mots monosyllabiques, tel que "This is" = "Diss iz". Ce sont ces même mots qu´on a tendance à prononcer "ze, ziss" en tant que bon français. ;)
Par contre pour des mots plus longs, on entend mieux le son "th", comme tu le dis Bossinou : "Theater", "Thin", "Thread", "Throw" -> "Si ateur", "Sine", "Sraide", "Sro"
Le plus simple est encore d´écouter un reportage ou un film en anglais, on finit vite par assimiler la prononciation du "th", même si c´est moins facile quand il faut la reproduire ^^