Salut à tous,

qu'est-ce qui fait que la preuve suivante du théorème de Cayley-Hamilton est fausse (et comment la rendre juste?)

On pose X(t) = det(tId - M) le polynôme caractéristique de M. Si on voit t comme une matrice c'est un polynôme de matrices. Alors X(M)=det(M.id - M)=det(0)=0 donc X annule M.

C'est super court (bien plus que toutes les preuves de CH que j'ai pu voir) et je n'ai jamais compris ce qui fait que ça ne marche pas

c'est un scalaire ton t dans le polynome caractéristique det(t*Id - M)

"X(M)=det(M.id - M)=det(0)=0"

Le membre de gauche est une matrice (si c'est un polynôme de matrices). Le membre de droite est un scalaire.

Et normalement c'est det(t*Id-u) avec u endomorphisme ou det(t*In-M) avec M une matrice.

Il a le droit de noter Id la matrice identité non ?

Bah non, Id c'est pour la fonction identité

Et si n = d, Id = In. :trollface:

(Être prisonnier des notations, c'est le mal. )

Oui mais si on commence à adopter des notations différentes ça part en couille

Ouais sérieux faut pas être rigide à ce point sur les notations.

Oui mais je pense que dans son cours, y'a PC d'une matrice et PC d'un endomorphisme. Et c'est pas exactement pareil

D'où la nécessité de distinguer Id de In

Non mais là y'a aucune confusion possible, la dimension de l'espace il peut la noter d ou même r s'il veut.

Non mais ce que j'voulais dire c'est que id ça s'écrit normalement http://upload.wikimedia.org/math/0/a/8/0a8d096a0f05aa044e9dab29cfddab96.png
et In avec le n en indice : http://upload.wikimedia.org/math/c/8/5/c850c7d4eb22c9e834a38f4daa4066d3.png

Du coup même si d=n, Id c'est pas vraiment pareil que In, vous m'voyez ?

Mais bon après j'avais bien précisé "normalement", vous pouvez aussi noter l'indéterminé d'un polynome x et prendre X pour un réel, mais voilà quoi

Je sais que ça ne marche pas de substituer M à t mais pourquoi? Pourquoi on a pas le droit de faire cette substitution.

Et pour Id et In on s'en fiche un peu, ce ne sont que des notations pour deux objets canoniquement identiques

Y'a deux choses à prendre en compte.

1) JVC n'est pas franchement pratique pour écrire des maths, donc les indices ont une légère tendance à sauter de toute façon.

2) Le contexte, c'bien pour comprendre ce que Untel veut dire, ça évite pas mal de confusions de base.

Parce que c'est pas homogène si tu remplaces t par une matrice, c'est la remarque de Prauron.

Oui mais ce que je ne comprends pas c'est que si je pars de la définition d'un polynôme de matrice il suffit bien de partie d'un polynôme à l'indéterminée sur R ou C et remplacer l'indéterminée par la matrice. Pourquoi on peut pas faire cette substitution ici?

det(t*Id - M) c'est un polynôme d'indéterminée t, mais det(A*Id - M), si A est une matrice, c'est pas un polynôme en A, c'est un scalaire.
En fait il faut pas confondre un polynôme (qui est une suite presque nulle), avec son évaluation sur un anneau (ici l'anneau des matrices).

Parce que l'égalité X(M) = det(M*Id-M) n'est plus vraie. Quand tu calcules X(M) comme tu as envie de le faire, tu as d'abord récupéré les coeffs du polynôme en t, puis ensuite tu as remplacé formellement t par une matrice. det(A) n'est absolument pas polynomial en A, mais en les coeffs de A, c'est toute la nuance.

X(A) c'est une matrice qui est l'image de A par le morphisme d'évaluation associé au polynôme X, dont les coefficients sont donnés par le développement de det(t*Id - M), mais ça n'est pas det(A*Id - M).