"Enfait dire que A^n est irrationnel, c'est dire que A^n s'écrit sous la forme c+dV2"

Non, c'est le contraire.

Si tu montres que A^n = c + dV2, puisque tu as montré que (x = a + bV2) => (x irrationnel), alors A^n est irrationnel, et pas le contraire.

Attention, tous les irrationnels ne peuvent pas s'écrire sous la forme c+dV2, par contre tous les nombres qui s'écrivent sous la forme c+dV2 avec d différent de 0 sont des irrationnels (je sais pas si tu vois la nuance).

Ton hypothèse de récurrence découle de ton initialisation, t'as montré que c'était vrai au rang n=1, tu le supposes à un rang n, si c'est vrai au rang n+1 alors c'est vrai pour tout n.

Vu que t'as montré que A^1 s'écrivait sous la forme c+dV2, tu supposes que c'est vrai à un certain rang n, et tu veux montrer que A^n+1 aussi peut s'écrire sous cette forme.
C'est l'intérêt même de cette hypothèse de récurrence.

Ah d'accord j'ai compris merci beaucoup !!

j'ai marqué : "hérédité : on suppose la prop' vraie à un rang n fixé (n=>1) càd A^n est irrationnel, on suppose que A^n s'écrit sous la forme c+dV2 avec c€N et d€N* et on démontre qu'elle est vraie au rang (n+1) A^n+1 est irrationnel et s'écrit sous la forme c'+d'V2..."

c'est bon ça ?

Dans ta récurrence tu montres juste que A^n s'écrit c+dV2.

L'irrationalité est une conséquence de cette preuve mais n'a rien à voir avec la récurrence.

Oui, sauf que je comprends pas pourquoi tu t'obstines à parler d'irrationnel dans ta récurrence, ça te sert à rien.
Avec ta récurrence, tu démontres que A^n s'écrit sous la forme c+dV2 pour tout n>0 et APRES tu en conclus qu'il est irrationnel, mais ça apporte rien dans la récurrence.

Tu fais démonstration mar l'absurde en supposant que l'hypothese de V2 appartient aux rationnels

A = 1+V2
N+(V2)N* = ensemble des a+(V2)b où a,b entiers naturels, b non nul

Par récurrence sur n, A^n € N+(V2)N*

Initialisation : A^1 € N+(V2)N*
Hérédité : A^n+1 = A^n * A
Or A^n € N+(V2)N* (hyp de réc) donc A^n+1 aussi car N+(V2)N* est stable par la multiplication

Conclusion A^n est irrationnel car N+(V2)N* C R\Q d'après la question précédente

(Ça revient à utiliser le binôme de Newton de façon détournée)

Vieux pas vraiment, en 2012 on le voyait encore.

Ben j'étais en terminale en 2012-2013 et je l'ai pas vu

Je voulais dire pour la session 2012 càd 2011-2012

2014-2015 lé + bg's wsh.

Bref merci beaucoup !

J'ai une nouvelle question ( ) : démontrer que V6 est irrationnel, j'ai commencé mais je bloque :

"Supposons par l'absurde que V6 € Q, soit V6 = x/y, (x;y) € Z² et x/y supposée irréductible.

V6 = x/y <=> 6 = x²/y² <=> 6y²=x²"

je sais que 6 = 2*3 donc x² pair donc x pair donc x =2k, k € Z.

Ok donc x²=4k² donc 3y²=2k²

donc y pair donc y = 2l, l € Z.
y²=2l²

donc 3l²=k²

donc k divisible par 3 : k=3m, m € Z.

k²=9m²
3l²=9m²
l²=3m²

donc l divisible par 3 : l=3n, n € Z

donc x=6m et y = 6n donc fraction réductible super fin

MAIS CA FAIT PAS UN PEU BEAUCOUP ? Surtout que je vous ai épargné la rédac + la preuve que c'est divisible par 3 (c'est à dire disjonction des cas avec 3k, 3k+1 et 3k+2)

vs avez pas mieux ?

Ben en fait à partir du moment où t'as trouvé que x et y sont pairs, c'est fini, puisque la fraction est réductible