Salut !

J'ai un exercice :

1. Soit a un entier naturel. Montrer que : (a est pair) <=> (a² est pair).
2. Montrer que V2 est irrationnel.
3. Montrer que, pour tout entier naturel a et tout entier naturel non nul b : a+bV2 est irrationnel.

Pour la 1 et 2, c'est bon. Mais pour la trois ?

si a+bV2 = r rationnel alors V2 = (r - a)/b

J'pige pas trop.

Si a+bV2=p/q
V2=p-aq/qb
2=(p-aq)²/(qb)²
2(qb)²=(p-aq)²

et après ?

ah c'est bon, merci j'ai compris !

"4. On note A=1+V2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n : A^n est irrationnel."

J'ai du mal pour l'initialisation.

ben
(1+V2)^1=1+V2
Et tu viens de montrer que a+bV2 était irrationnel.

merci me suis rendu compte de mon erreur après, j'avais pas remarqué attentivement les "non-nul".

Sinon est ce que mon hérédité est okep ?

"Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang n fixé càd : A^n est irrationnel. Et on démontre qu'elle est vraie au rang (n+1) càd : A^n+1 est irrationnel.

Or A^n+1 = (1+V2)^n+1 = (1+V2)^n * (1+V2)

Nous savons que d'après l'hypothèse de récurrence : (1+V2)^n est irrationnel et que (1+V2) aussi donc A^n+1 est irrationnel"

c'est bon ?

Non, le produit de deux irrationnels peut être rationnel.

Exemple :
(V2)*[1/(V2)]

merde j'fais comment alors ?

Je crois pas que le binôme de Newton soit vu en term S, du moins perso je l'avais pas vu

Non le binome de Newton n'est pas vu en TS.

En revanche tu pourrais justement montrer par récurrence que A^n s'écrit toujours sur la forme c+dV2 avec c et d deux naturels non nuls.

J'comprends pas comment vous voudriez que je fasse ça.

Initialisation : OK.

Hérédité : là je bloque
on admet A^n = c+dV2 ?
A^n+1 = (1+V2)^n*(1+V2)

j'comprends pas...

Developpe en utilisant le fait que A^n = c+dV2

Mais A^n = c+dV2 ou (c+dV2)^n ??? dans le premier cas j'comprends pas où passe le "^n"

sinon A^n+1 = (c+dV2)*(1+V2) = c+dV2+cV2+2d = c+V2(d+c+dV2)

donc c'est bon ?

Je crois que tu t'embêtes pas mal avec ton histoire de récurrence

Nous n'avons pas vu le binôme de Newton et elle avait précisé qu'elle voulait qu'on le fasse pas récurrence.

Mais A^n = c+dV2 ou (c+dV2)^n ??? dans le premier cas j'comprends pas où passe le "^n"

Le premier, essaies et tu verras, pour tout n, tu vas avoir (1+V2)^n=an+bnV2
avec an et bn deux entiers (qui dépendent de n, mais dont on se fiche bien de la valeur)

Oui c'est bon ce que tu as fait, en fait ton ^n disparait grâce à ton hypothèse de récurrence, tu supposes que (1+V2)^n s'écrit sous la forme a+bV2, même si tu donnes aucune indication pour a et b.

Et du coup en effet tu as
(1+V2)^n+1=(a+bV2)*(1+V2)
=a+2b+bV2+aV2
=(a+2b)+V2(a+b)=a'+b'V2 en posant a'=a+2b et b'=a+b

du coup t'as montré que tout (1+V2)^n s'écrit sous la forme a+bV2, CQFD

Ok merci !
Enfait dire que A^n est irrationnel, c'est dire que A^n s'écrit sous la forme c+dV2 donc pas besoin de le démontrer puisque c'est mon hypothèse de récurrence ?