Salut, je suis en spé maths et on a commencé avec la divisibilité dans Z.

Faut avouer que j'comprends rien.

Je dois compléter une fiche :

"2) Propriétés
Propriété 1 : transitivité

Soit a, b et c trois entiers. Si a divise b et que b divise c, alors ...
Démonstration : ..."

Donc j'ai marqué "Soit a, b et c trois entiers. Si a divise b et que b divise c, alors a divise c"

mais j'ai aucune idée de comment démontrer. Si ça peut aider j'ai une formule : a|b <-> il existe k€Z / b=ka

(a divise b si et seulement si il existe un réel k appartenant à Z, alors b=ka)

Voilà, comment faire ?
Merci !

Ca se fait en trois lignes, si a divise b alors b s'écrit sous la forme ...

Je me doute que c'est facile mais je dois marquer

si a|b alors b=ka
si b|c alors c = k'b

et après ?

Tes deux hypothèses c'est a divise b et b divise c et on te donne la petite équivalence a|b <=> il existe k dans Z t.q b=ka.

Là en gros on te donne une boite avec un trou carré et un cube à mettre dans la boite. Il n'y a pas 36 choses à faire, de toute évidence il faut pas courir autour de la boite en chantant la marseillaise. Je vois pas trop en quoi t'es bloqué.

Et comme aujourd'hui c'est la fête du trou voici une démo à trou :

_ divise _ d'où ____ _ dans _ t.q _ = __ (1)
_ divise _ d'où ____ _ dans _ t.q _ = __ (2)
Je substitue _ dans (1) par son expression dans (2)
On a donc _ = ___
D'où d'après l'équivalence _|_

Remplaces b dans la deuxième expression par la première.

Quand on est con Kientz, parfois on y peut rien.
Bref merci beaucoup, j'ai compris.

"a divise b d'où il existe k dans Z t.q b = ka (1)
b divise c d'où il existe k dans Z t.q c = k'b (2)
Je substitue b dans (1) par son expression dans (2)
On a donc c = k'ka
D'où d'après l'équivalence a|c"

j'ai juste ?

J'ai une deuxième propriété, je la mets voir si j'ai cmpris

"Soit a, b deux entiers. Si (a|b et b|a) alors..."

voilà ma réponse : "Soit a, b deux entiers. Si (a|b et b|a) alors a=b"

juste ?

En revanche pour démontrer je sais pas si c'est bon et si je fais pas des choses inutile

"Si a|b et b|a alors il existe un entier k tel que :
b=ka
a=kb

k=b/a

dnc

a= (b/a) *b
a/b = b/a

donc

a = b"

ça marche ? ça me parait bancal.

En arithmétique, on bannit la division...
Sur Z, le vrai résultat c'est a = +b ou -b. Et bon, je te laisse deviner que d'après les 2 remarques précédentes, ta demo c'est mort...

Si tu fais comme au dessus :

a | b d'où b = ka
b | a d'où a = k'b

a = k'*k*a, donc k'*k = 1, ce qui est possible dans Z seulement si k' = k = 1 ou k' = k = -1 donc a = +/- b

Ah ok j'ai compris.

Merci beaucoup ça me parait évident que vois la correction que vous m'apportez mais quand j'essaye de le faire, je trouve ça illogique

Je suis désolé, je bloque encore et je reredemande votre aide, je sais qu'on dirait que je veux que vous fassiez mes devoirs mais voici ma démonstration et sa propriété :

"Propriété 3 : divisibilité et produit

Soit a, b et c trois entiers. Si a|b alors ..."

Ma réponse : "Soit a, b et c trois entiers. Si a|b alors a|bc"

Jusque-là, nous sommes d'accord.
Voici ma démonstration :

"Si a|b alors il existe un entier k tel que b = ka (jusque ici : ok) donc bc = kac (j'ai fait apparaitre le bc mais le problème là c'est que je viens de prouver que ac divise bc........)"

donc faut avouer que je bloque à mort sur cet exo

à moins que je fasse le fou en disant "k = 1/c donc b = a/c donc bc = a"

mais c'est plus de la forme "bc = ka" puisque le k=1/c et non 1

Bah t'as b = ka et bc = kac, pour peu que t'écrives ça bc = kc*a, tu vois bien que a divise aussi bc puisque kc est bien un entier

Ah c'est comme si j'écrivais bc = la avec l = kc donc a divise bc ?

Voilà, (kc) est bien un nombre entier donc t'as bc = un nombre entier * a, tu conclus que a divise bc

oui, c'est ça

Ok merci encore, je vais en faire une en direct de démonstration voir si j'ai compris sur la propriété suivante : Soit a, b, c et d quatre entiers. Si (a|b et c|d) alors (ac)|(bd).

Démo :

- Si a|b et c|d alors il existe deux entiers relatifs k et k' tel que
b=ka
d=k'c

- bd = kad

là dois-je isoler d (d= (kad)/b) et ensuite remplacer dans d=k'c en faisant l'équation :

(kad)/b = k'c

?

Non oublie la division en cours de spé, t'étais bien parti :
D'après les hypothèses,
b = ka
d = k'c

bd = kad, mais d = k'c donc bd = kak'c = (kk')*ac.
Donc tu as bien bd = q*ac, avec q = kk', ac divise bien bd.

D'accord, je retiens : oublier la division !
Merci beaucoup Arca, tu réponds rapidement, d'une façon très explicite et pédagogue, désolé de te faire perdre ton temps. Bref, merci encore.

Bon là, j'ai un problème différent, "Soit a, b et c trois entiers. Si (c|à et c|b) alors..."

alors quoi ? Alors b=ac ? Alors b = a? Alors b = ak ?

Non aux 3 et voici des contre-exemples :

2 | 8 et 2 | 12

Mais 2*8 = 16 (b =/= ac), 8 =/= 12, et 8 divise pas 12, par contre 2 divise (12+8) = 20

Je pense qu'on veut te faire remarquer que c divise a + b

Ok. Donc démonstration :

a=kc
b=k'c

a+b = kc+k'c
a+b = c*(k+k')

q=(k+k')

a+b=q*c

Donc c divise a+b.

C'est bon ?