Je ne suis absolument pas d'accord avec ce point de vue.
Ce n'est pas parce qu'un algorithme fournit théoriquement une valeur exacte si on pouvait aller jusqu'à l'infini que ça enlève le fait que ce soit une approximation.

(D'ailleurs, c'est un peu un des principes de base de converger vers la solution exacte pour un algorithme numérique)

"Les seuls nombres pour lesquels on ne peut converger de manière exacte sont ceux qui appartiennent à R sans appartenir à Q (par exemple pi) "

Et ça j'ai pas compris.
somme(1/k!,k=0..n) converge vers e de manière exacte. (et ce n'est qu'un exemple)

Tout le problème vient de la définition du mot "approximation". Pour moi avoir une solution numérique qui approche à 10^-16 la solution exacte ce n'est plus une approximation ; c'est la solution exacte (à un epsilon près).
J'ajouterais que pour obtenir cette précision il n'est nullement nécessaire d'aller jusqu'à l'infini ; moins d'une dizaine d'itérations sont nécessaires pour parvenir à ce résultat.

"Les seuls nombres pour lesquels on ne peut converger de manière exacte sont ceux qui appartiennent à R sans appartenir à Q (par exemple pi) "

Je voulais dire par là que c'est nombre tels que pi, racine(2) , e , etc... sont des nombres qui n'ont pas d'écriture fractionnaire ; autrement dit ils ont une infinité de décimales et ne peuvent être écrits de manière exacte en double précision dans une machine.

Ha ben non, la solution exacte c'est la solution exacte, pas à seize chiffres après la virgule ou même 2 milliards. Et l'approximation réside justement dans l'"epsilon près".
Après, si on note Pi=3,14+epsilon, on peut toujours dire que 3,14+epsilon est valeur exacte, mais 3,14 reste une approximation.

D'ailleurs, on distingue les logiciels qui calculent avec les valeurs exactes (formels) de ceux qui travaillent avec des approximations (numériques)

"Je voulais dire par là que c'est nombre tels que pi, racine(2) , e , etc... sont des nombres qui n'ont pas d'écriture fractionnaire ; autrement dit ils ont une infinité de décimales et ne peuvent être écrits de manière exacte en double précision dans une machine. "

Le nombre 1/3 ne peut pas être non plus décrit de manière exacte, 0.33333 avec autant de 3 que tu veux sera toujours différent de 1/3, sauf si on utilise ta définition de valeur exacte. (et j'insiste sur le ta)
On peut être amener à penser que c'est du pinaillage, mais la topologie des réels est grandement mise à mal si on considère que à 10^-16 près on a la valeur exacte et bon nombres de définitions (toutes les définitions "en epsilon" comme on dit) ne sont plus valables.

"D'ailleurs, on distingue les logiciels qui calculent avec les valeurs exactes (formels) de ceux qui travaillent avec des approximations (numériques) "

L'utilité d'un logiciel de calcul formel reste très limité par rapport au numérique qui est fortement utilisé dans le domaine académique et industriel.

Le "pinaillage" dont tu parles est une chose dont les numériciens, dont je fais parti, se moquent bien. Si tout le monde raisonnait comme toi, les métiers du numériques seraient morts avant d'être nés

Toutes les théories basées sur les éléments finis, volumes finis qui ont permis des avancées considérables dans le domaine de la mécanique des structures et des fluides par exemple seraient vouées à l'échec pour un epsilon qui n'a que si peu d'importance.

Tu aimes les maths "pures", peut-être même que tu en as fait ton métier. Je respecte cela. Dans mon cas je travaille avec les maths applis ; tu serais bluffé de savoir tout ce que l'on peut faire pour faire avancer la science en ne se focalisant pas sur un espilon

Oula, je veux pas partir là dedans. Je suis au courant que le calcul numérique est être utile et je veux travailler dans les maths appliquées. Je dis simplement qu'il faut appeler un chat un chat; et qu'une valeur vraie pour les 16 premières décimales ben c'est pas une valeur exacte.

Je ne dénigre pas du tout la discipline de l'analyse numérique en tout cas. D'ailleurs à part toi j'ai jamais vu un numéricien dire qu'à 10^-16 près c'est la valeur exacte.

Si tu savais le nombre de fois où j'ai décapité un epsilon en plein vol...

C'est pas une raison pour décapiter un mot aussi et de lui enlever son sens premier.

L'epsilon est né pour se faire dégager, tronquer, décapiter, ignorer... C'est dans sa nature