bonjour j'ai une question tout bête.

comment résoudre à la main une équation du style ;

x + ln(x) - 1 = 0 ?

(PS: je suis en TS et je ne sais pas si on a le niveau pour)

Solution évidente, 1. Pas de méthode générale en TS.

non mais j'ai pris -1 comme exemple mais si c'est

x + ln(x) + k = 0 (k appartenant au domaine qu'il faut )

j'aimerais savoir comment faire svp

Faut utiliser une fonction qui est pas au programme du tout.
Pour montrer qu'il existe une solution, par contre, il suffit d'étudier la fonction définie par f(x) = x + ln(x) + k = 0, montrer qu'elle est continue et passe forcément par 0

En TS, on te dirai d'étudier cette fonction, de faire un calcul de dérivée et de voir qu'elle est strictement monotone sur un intervalle ( comme par hasard, la valeur x que tu cherches est dedans ).
puis, tu utilises le théorème de la bijection et tu trouves qu'il y a une valeur x.
et enfin, on te dira d'aller la chercher sur la calculette.

tu prouves*

Par curiosité c'est quoi la technique pour résoudre l'équation de manière rigoureuse (avec les méthodes post-bac) ?

oui je connais la méthode TS, mais comme mon vdd j'aimerais savoir par curiosité comment on fait de la manière directe svp

L'équation étant non linéaire, une solution pourrait être d'utiliser une méthode itérative de type Newton-Raphson

une méthode itérative ça permet d'avoir une valeur approximative du coup impossible d'avoir la vraie valeur ?

Ce que tu dis n'est pas totalement vrai, ni totalement faux d'ailleurs

La méthode de Newton possède une convergence quadratique, ce qui signifie que à chaque itération la précision est doublée. Par exemple si tu as une erreur entre la solution approchée et la solution exacte de l'ordre de 10^-2 alors à l'itération suivante cette erreur sera de l'ordre de 10^-4 puis 10^-8 et ainsi de suite...

Ainsi tu peux t'approcher suffisamment de la bonne valeur pour qu'on puisse dire que l'approximation est exacte

J'ajouterais qu'il existe une autre approche itérative "naïve" pour résoudre l'équation proposée par l'auteur. On peut utiliser la dichotomie ;)

cloueur Voir le profil de cloueur
Posté le 15 juin 2014 à 19:22:05 Avertir un administrateur
Ce que tu dis n'est pas totalement vrai, ni totalement faux d'ailleurs

La méthode de Newton possède une convergence quadratique, ce qui signifie que à chaque itération la précision est doublée. Par exemple si tu as une erreur entre la solution approchée et la solution exacte de l'ordre de 10^-2 alors à l'itération suivante cette erreur sera de l'ordre de 10^-4 puis 10^-8 et ainsi de suite...

Ainsi tu peux t'approcher suffisamment de la bonne valeur pour qu'on puisse dire que l'approximation est exacte

J'ajouterais qu'il existe une autre approche itérative "naïve" pour résoudre l'équation proposée par l'auteur. On peut utiliser la dichotomie ;)

oui, un simple programme en info le fait sans problème.

je connais pas votre méthode de newton mais la dichotomie est très intuitive.

La méthode de Newton (aussi appelée Newton-Raphson) permet de converger beaucoup plus rapidement vers la solution que la dichotomie mais nécessite un degré de maîtrise des mathématiques un peu plus élevée que dans le cas d'une dichotomie

Ah ok merci.

Et surtout ne fonctionne que si la fonction est convexe

mirtazapine Voir le profil de mirtazapine
Posté le 15 juin 2014 à 19:12:04 Avertir un administrateur
une méthode itérative ça permet d'avoir une valeur approximative du coup impossible d'avoir la vraie valeur ?
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cloueur Voir le profil de cloueur
Posté le 15 juin 2014 à 19:22:05 Avertir un administrateur
Ce que tu dis n'est pas totalement vrai, ni totalement faux d'ailleurs

Pourquoi "pas totalement vrai" ?
La méthode de newton reste une méthode d'approximation non ?
D'ailleurs, n'importe quel algorithme de calcul numérique est une approximation, quelque soit sa vitesse de convergence.

Tu as aussi la méthode de la sécante qui est une méthode itérative permettant d'approcher ton zéro. Elle est utile lorsque la fonction considérée n'est pas dérivable comme alternative à Newton-Raphson et converge bien plus rapidement que la méthode de dichotomie (celle-ci est néanmoins pratique pour trouver un voisinage du zéro, sachant que la méthode de Newton, par exemple, ne converge que si on choisit l'initialisation de la suite (x(n)) (celle qui est te fournit tes approximations) suffisamment proche du zéro).

leimotiv On parle d'approximation selon le point de vue utilisé. Par exemple, si tu écris un algorithme de Newton "à la main" sur une feuille et que tu calcules les itérés de tête avec une précision infinie (c'est-à-dire que tu es capable de calculer plus d'une centaine de chiffres après la virgule) alors dans ce cas là on parle pas d'approximation puisque tu vas converger vers la solution exacte. Les seuls nombres pour lesquels on ne peut converger de manière exacte sont ceux qui appartiennent à R sans appartenir à Q (par exemple pi)

On parle d'approximation à tort à cause de la précision machine. Les algorithmes itératifs sont utilisés par des ordinateurs qui sont,à l'heure actuelle, incapables d'apporter une précision supérieure à 16 chiffres après la virgule ce qui fait que nécessairement lorsque on approche un nombre avec une infinité de décimales (tel que pi) on commet une "erreur" en écrivant que les 16 premières décimales de ce nombre.

En clair, ce n'est pas la méthode qui est fautive de cette approximation, ce sont les machines que nous utilisons