Salut,
Comment résoudre cette équation ? :

f est la fonction inconnue (à résoudre)

Ce que j'ai déjà tenté :
- dériver pour tenter de convertir cette équation en équation différentielle, sans succès, (l'intégrale ne veux pas partir et n'est pas substituable quel que soit le nombre de fois que je dérive.)

- IPP : pareil qu'au dessus, ne donne rien d’intéressant.

l'équation me parait quand même résolvable et f doit avoir une expression simple, ce que je veux éviter à tout prix : tâtonner la solution par des fonctions élémentaires, car même si je trouve, qui me dit qu'il n'y a pas d'autres solutions ? (unicité)

Merci à vous !

C'est un produit de convolution, on peut essayer d'en faire la transformée de Fourrier puis l'inverse.

(la transformée de fourier du produit de convolution de deux fonctions est égale au produit des deux transformées)

j'ai regardé la définition et il me semble que l'on doit avoir la forme f(x-t)g(t) dt dans l'intégrande et non f(x+t)g(t) dt... (le signe fait tout foirer)

Up, c'est vraiment coinçant, aucun moyen de la résoudre !

Up !

wkj Voir le profil de wkj
Posté le 12 juin 2014 à 11:45:37 Avertir un administrateur
j'ai regardé la définition et il me semble que l'on doit avoir la forme f(x-t)g(t) dt dans l'intégrande et non f(x+t)g(t) dt... (le signe fait tout foirer)

On peut s'y ramener avec un changement de variable
t->-t
du coup ça te fait int(t=0..-x,ln(x-t)(-f(-t))dt)

Du coup tu poses une fonction g(t)=f(-t) pour retrouver la définition du produit de convolution.

Après je ne suis quand même pas convaincu du bien fondé de ma suggestion. Je n'ai pas trop cherché. J'ai juste donné une piste que tu n'as pas énoncé.

il me semble que tu as raison leitmotiv, pour ce genre d'équation de convolution on passe à Fourier inverse, enfin c'est mes souvenirs de cours d'électricité.

[leitmotiv] : le problème est justement le -x dans la borne, si on change le signe de -x pour avoir la borne en [0,x] (pour pouvoir appliquer votre truc, et aussi pour que ca soit défini à droite), il y aura du ln(-(x+t)) dans l'intégrale et non du ln(x-t)...

Non. Un changement de variable correct ne peut pas rendre une intégrale définie non définie.
D'ailleurs :

int(t=0..x,ln(x+t)f(x)dt)=int(t=0..-x,-ln(x-t)f(-t
)dt)=int(t=0..x,ln(x-t)f(-t)dt)

On voit bien que l'on fait l'intégrale de 0 à x de ln(x-t)f(x)
Donc le terme dans le ln est toujours définit sauf en x mais ça donne une intégrale impropre.
D'ailleurs, ça te donne une info sur le comportement de f(x) en 0.

Et sinon tu voudrais pas juste tester ma soluce plutôt que de donner des contre-arguments sans faire un seul calcul vu les fautes dans ceux-ci ?

Je ne peux pas vous aider mais j'aimerai savoir de quel niveau est une équation de ce genre ?

On voit bien que l'on fait l'intégrale de 0 à x de ln(x-t)f(x)*

pytha Dépend de l'équation, ça peut être niveau lycée si la réponse est assez évidente ou si une petite ipp suffit comme niveau licence ou master.

On voit bien que l'on fait l'intégrale de 0 à x de ln(x-t)f(-x)*

Je vais finir par y arriver

Merci Leitmotiv, par contre l'ipp, bien que souvent enseignée au niveau TS, n'est plus exigible au bac il me semble

Je n'ai jamais entendu parler "d'équation de convolution" au lycée, le programme d'électricité a lui aussi été sacrifié, c'est dommage car ça m'intéresse...

Effectivement, mon bac date un peu et il est vrai que l'IPP, bien que souvent enseignée, ne fait plus partie du programme.
Et on parle de produit de convolution.

Le produit de convolution intervient partout, dans toute mesure physique. Il est particulièrement abordé en élec' parce qu'il intervient beaucoup dans la notion de filtre.

j'ai regardé la déf du produit de convolution ici : http://fr.wikipedia.org/wrg/wiki/Produit_de_convolution
et les bornes sont infinies, ici l'une est fixé et l'autre variable

j'ai aussi regardé la partie sur la transformée de fourier qui permet apparamment de séparer le produit mais mon intégrale est bien un produit de convolution alors ?

je viens de regarder la version anglaise de la page wiki et il semble qu'il vaut mieux utiliser la transformée de laplace quand les bornes sont du type [a,x]

et quand tu dis : int(t=0..-x,-ln(x-t)f(-t)dt)=int(t=0..x,ln(x-t)f(-
t)dt)
je voudrais bien des explication, d'après mes cours l'opposée d'une intégrale revient à intervertir ses bornes (en faisant sortir le - devant le ln)...

c'est bien un produit de convolution, mais en effet sous cette forme il vaudrait mieux chercher du côté de la transformée de Laplace.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/conducti/61laplac/61laplac.htm

du côté du théorème de convolution il y a un exemple avec Laplace.