Amandin Voir le profil de Amandin
Posté le 1er avril 2014 à 20:41:48 Avertir un administrateur
bonjour tout le monde

quelqu'un saurait expliquer avec des mots simples la convergence uniforme? Je ne comprends pas l'exercice suivant :

Soit f une fonction continue sur R+ telle que, pour tout h > 0, f(x+h)-f(x) tend vers 0 quand h tend vers +oo

Montrer que cette convergence est uniforme en h.

qu'est-ce qu'ils entendent par "uniforme en h" ici?

Ok, j'avais pas tout lu. On parle généralement de convergence uniforme pour des suites de fonctions, pas des suites de points (quoique une fonction peut-être vue comme un point me diras-tu .. mais ça c'est autre chose).

Soit L un compact de R+, on a L=[a,b] par exemple.

On sait que pour tout x dans L, f(x+h)-f(x) -- > 0 quand h-->0 que je traduis:

Pour tout epsilon>0, pour tout x dans L, il existe M tq |h|<M IMLIQUE |f(x+h) - f(x)|<= eps.

Comme tu es sur un compact, tu peux prendre un certains M* tel que ça va marcher pour tous les h! Je te laisse réfléchir comment le choisir!

Et donc une fois ce choix fait, tu auras:
Pour tout epsilon>0, il existe M*, pour tout x dans L, |h|<M* IMLIQUE |f(x+h) - f(x)|<= eps.

soit convergence "uniforme" en h sur L.

Donc localement uniforme convergence.

Tu peux aussi raisonner en terme de fonctions en posant f_h(x)=f(x+h) ;-) et montrer que f_h convergece uniformement vers f sur TOUT COMPACT! c'est qui revient au même

A+

Si tu ne vois pas :

Soit K un compact de R+. On sait que f(x+h) - f(x) --> 0 quand h-->0

qu'on traduit:
Pour tout eps>0, pour tout x dans K, pour tout h dans K tq x+h dans K, il existe M dans R tq ( |h|<= M IMPLIQUE |f(x+h)-f(x)|<=eps)

On définit psi:K-->R tq psi(h)=|h|. On remarque que psi est continue (car c'est une norme) sur K compact, par théorème psi atteind ses bornes sur K. Donc sup_{h dans K} psi(h) existe qu'on note M*.

On a alors pour tout h dans K: |h|<= sup psi=M* (M* est donc INDEPENDANT de h)

D'où :
Pour tout epsilon>0 il existe M* tq pour tout x dans K, pour tout h dans K tq x+h dans K on a |h|<=M* => |f(x+h)-f(x)|<= eps.

Donc convergence uniforme en h sur K.

Voilou

Pourquoi tu travailles pour h qui tend vers 0 alors que c'est x qui tend vers +oo?

Parce que c'est ce que tu as écrit dans ton premier message...

"
Soit f une fonction continue sur R+ telle que, pour tout h > 0, f(x+h)-f(x) tend vers 0 quand h tend vers +oo

Montrer que cette convergence est uniforme en h.
"

Cette phrase est la définition de la continuité de f en x.

Oui quand h tend vers +oo pas 0

Ah, oui, mais ça ne change absolument rien.

A partir du moment où f est continue sur R+, tout ce que j'ai écrit et valide.

Le fait que tu as f(x+h) -f(x) -->0 quand h-->+oo est superflu.

Ah mais non jme suis gourré en fait c'est quand x tend vers +oo l'énoncé.

bon je laisse tomber cet exercice pour le moment en plus j'ai raisonné avec le mauvais énoncé

Oui mais ça ne change rien non plus... Dire que f(x+h) -f(x) -->0 à l'infini veut dire qu'à l'infini ta fonction est constante ...

=> Une chose est sure, si f est continue sur R+, alors pour tout compact K de R+, f est uniformément continue sur K.

m0ufle tu parles bien de f(x+h)-f(x) -> 0 quand x tend vers +oo?

Dans ce cas pourquoi la fonction est constante à l'infini? Regarde ln(x+h)-ln(x)

Ah Oui ok , j'ai parlé trop vite... mais peu importe! ça ne change rien à ton énoncé qui d'ailleurs m'échappe de plus en plus. Peux-tu le recopier exactement sans erreur ?

Je répète: Une chose est sure, si f est continue sur R+, alors pour tout compact K de R+, f est uniformément continue sur K. Ca c'est sûr.

L'énoncé sans erreurs :

"Soit f une fonction continue de R+ telle que, pour tout h > 0, f(x+h)-f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +oo.

Montrer que cette convergence est localement uniforme en h"

Salut tout le monde

pour info j'ai posé la question sur un forum de maths et j'ai eu une preuve qui n'est pas des plus simples donc c'est surement normal que personne a réussi ici...

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,914825

perso j'ai pas encore compris le fond de la preuve du lien

La preuve fournit dans le lien est constructive et à le bon goût d'être assez visuelle.

Si on veut faire plus court, on peut toujours invoquer des arguments plus théoriques (bien que toujours géométriques). En particulier, lorsqu'on à affaire à une question d'inversion de quantificateurs, une application bien choisie du théorème de Baire permet souvent d'arriver au bout.

En l'occurrence ici, obtenir l'uniforme continuité de f sur ]0;+oo[ tout entier suffirait à résoudre le problème avec un bon découpage uniforme des compacts sur lequel on veut prouver la convergence uniforme. Et pour obtenir l'uniforme continuité, Baire est efficace en considérant la suite de fermé Fn(e) définie par Fn(e)={h dans R tels que |f(x+h)-f(x)| < e dès que x > n}

merci Klaus,

je crois pas que les espaces de Baire soient au programme de spé donc je pense pas avoir le droit de l'utiliser.

merci quand même je vais garder la preuve du lien