bonjour tout le monde

quelqu'un saurait expliquer avec des mots simples la convergence uniforme? Je ne comprends pas l'exercice suivant :

Soit f une fonction continue sur R+ telle que, pour tout h > 0, f(x+h)-f(x) tend vers 0 quand h tend vers +oo

Montrer que cette convergence est uniforme en h.

qu'est-ce qu'ils entendent par "uniforme en h" ici?

j'imagine que c'est "quand x tend vers +oo" non ?

oui bien vu

je sais ce qu'est la convergence uniforme dans le cadre des suites de fonctions et des séries, je suppose que la définition est la même pour une fonction deux variables??

par contre quels sont les théorèmes qui restent vrai? C'est ça qui me pose problème surtout comme j'ai pas manipulé la convergence uniforme dans le cadre des fonctions de deux variables je ne sais pas ce à quoi j'ai le droit

Sinon j'avoue avoir du mal à comprendre et malgré cette correction ça ne fait pas plus sens pour moi. On parle de convergence uniforme pour les suites de fonctions ou les séries, pas pour ce genre de choses.

A tout hasard, j'imagine qu'il faut résonner sur le comportement de f.
La supposition faite implique une condition assez forte sur f (ou plutôt sur sa limite).
Je pense qu'il faut arriver à majorer la différence f(x+h)-f(x) par quelque chose qui ne dépend pas de h (en d'autres termes, par quelque chose qui sera plus grand quelque soit h) et montrer que ça tend vers 0.

Ce que je me dis :

Convergence simple :

POUR TOUT h, pour tout e, il existe A tel que x > A => |f(x+h)-f(x)| < e

convergence uniforme :

pour tout e, il existe A tel que POUR TOUT h, x > A => |f(x+h)-f(x)| < e

enfin c'est comme ça que j'extrapolerai la def dans le cas des suites de fonction

Oui je suis d'accord.

Bon et beh dans ce cas c'est encore plus clair : j'ai strictement aucune idée de départ

f a une limite finie, c'est le seul moyen pour que cette propriété soit vraie. (à démontrer bien sûr)
Il faut écrire ce que cela signifie avec des quantificateurs et en bidouillant un peu tu devrais facilement arriver à ce que tu souhaites.

je parle de cette propriété :

Soit f une fonction continue sur R+ telle que, pour tout h > 0, f(x+h)-f(x) tend vers 0 quand x tend vers +oo

Pourquoi f a une limite finie forcément? ln(x+h)-ln(x) ça tend vers 0 lorsque x -> +oo pour tout h non?

par contre je viens de relire l'énoncé, c'est : "montrer que cette convergence est LOCALEMENT uniforme en h" donc sur tout segment mais ça aide pas

Ha effectivement j'ai faux. Voilà ce qu'il se passe quand on trop vite.

Ben si c'est local ça veut dire que h se balade sur un compact. Donc tu peux majorer h, ou le minorer, par quelque chose qui n'en dépend pas. Et donc te ramener à ta propriété puisque ton majorant ou minorant sera forcément strictement positif puisque h l'est aussi et que tu veux localement.

Je comprends pas trop où tu veux en venir.

On veut montrer par exemple que pour tout e > 0, il existe un A > 0 tel que POUR TOUT h DANS [0,1], x > A => |f(x+h)-f(x)| < e

Donc ok on part de la même phrase avec le "POUR TOUT h DANS [0,1]" devant au lieu d'être au milieu. Ensuite comme tu dis 0 < h < 1, et? Après tu me proposes de faire quoi?

Tu pars de ta propriété

Pour tout h>0 et e>0, il existe M réel tel que pour tout x > M |f(x+h)-f(x)|<e

Puisqu'on veut une propriété locale, on restreint h à un certain intervalle
h appartient à ]0,K] avec K réel, il suffit reprendre la proposition du début et de majorer M (trouver M pour lequel la propriété est vraie pour tout h de cet intervalle)

Ok on veut que M dépende plus de h mais je vois pas ce que tu proposes en disant de majorer M

Attends déjà moi je propose parce qu'il y a trop de variable qu'on fixe e = 1 :

Pour tout h, il existe M tel que x > M => |f(x+h)-f(x)| < 1

On se place sur [0,K], donc 0 <= h <= K. Et ensuite? C'est quoi la ligne qui suit dans le démo selon ce que tu proposes?

Bah la convergence simple c'est chaque point de ta fonction converge vers un point.

Convergence uniforme c'est la fonction toute entiere qui fini par entrer dans un "tube" et n'en sort plus.

Puisque ta fonction est continue et que h est restreint à un borné, la quantité |f(x+h)-f(x)| est aussi bornée.

On pose e = sup |f(x+h)-f(x)| pour h appartenant à [0,K]
Et d'après le fait que

Pour tout h et e réels positifs , il existe M tel que x > M => |f(x+h)-f(x)|<e

(propriété de départ)

On a montré ce que tu souhaites.

je comprends rien pourtant jte promets j'essaye de réfléchir à chaque chose que t'écris.

"la quantité |f(x+h)-f(x)| est aussi bornée. "

bornée par rapport à quoi? à x? à h?

"On pose e = sup |f(x+h)-f(x)| pour h appartenant à [0,K]
Et d'après le fait que

Pour tout h et e réels positifs , il existe M tel que x > M => |f(x+h)-f(x)|<e "

C'est le même e dans la première phrase que dans la deuxième?

(1) On dit que f_n converge simplement vers f dans I si
pour tout x dans I pour tout epsilon >0 il existe N(x) tel que n>= N(x) IMPLIQUE |f_n(x)-f(x)| <= epsilon.

(2) On dit que f_n converge uniformément vers f sur I si
Il existe N* tq pour tout x, pour tout epsilon, n>= N* IMPLIQUE |f_n(x)-f(x)| <= epsilon.

La différence vient que de l'ordre des quantificateurs. Dans le premier cas N dépend de x, dans le second non.

On a (2) => (1) : Si il existe N* tq blablabla alors dans (1) pour chaque x, pour chaque epsilon, il suffit de prendre N(x) = N* et on a (1).

si quelqu'un à une soluce moi j'ai cherché toute l'aprem et demandé à des potes de la prépa personne ne voit...

m0ufle merci pour les explications, ça c'est dans le cas d'une suite de fonction, ici c'est pas une suite de fonction mais une fonction de deux variables