Salut à tous !

Je vais directement dans le vif du sujet.

La famille F de fonctions de C (Infini) de (]0;+oo[;R) est-elle libre ?
Pour tout x € R, fi(x)=ln(ix) pour i allant de 1 à 4.

Le souci, c'est qu'on a vu comment évaluer en certaines valeurs ce type d'exercice, mais là, je bloque. J'ai pensé à du exponentiel mais ça ne marche pas du tout, car je me retrouve avec des coefficients assez méchants.

Avez-vous des idées pour me débloquer ?

Merci !

ln(2x)=ln(2)+ln(x)
ln(4x)=ln(4)+ln(x)= 2 ln(2)+ln(x)

Ainsi quelque soit réel, ln(4x)-2ln(x)+ln(x)=0

C'est lié. enfin je crois

Je sais plus écrire ni compter

Ainsi quelque soit x réel, ln(4x)-2ln(2x)+ln(x)=0

Si je ne dis pas de conneries, tu as oublié le ln(3x)
Ce qui donnerait:

ln(2x)=ln(2)+ ln(x)
ln(3x)=ln(3)+ ln(x)
ln(4x)=ln(4)+ ln(x)

Mais je ne comprends en quoi on peut dire que c'est lié ? Je ne comprends pas le raisonnement.

Oui sauf qu'on ne libère pas une famille liée en lui ajoutant des vecteurs.

Et le raisonnement c'est d'appliquer la définition du caractère lié d'une famille de vecteurs.

Ce truc-là ?
λ1 ⃗v1 + ...+ λn⃗vn = ⃗0.

Oui, d'accord, mais ici, il s'applique où ?

Et il ne s'agit pas ici d'évaluer les fonctions en plusieurs valeurs, c'est les fonctions qu'on considère, le quelque soit x réel est très important.

Enfin pour te donner un indice, ici ta famille est libre, et ce que tu écris à savoir
ln(2x)=ln(2)+ ln(x)
ln(3x)=ln(3)+ ln(x)
ln(4x)=ln(4)+ ln(x)
est une bonne piste même si tu l'as présenté dans un tout autre contexte.

Problème de caractères...

λ(1)v(1) + ... + λ(n)v(n) = 0 (Avec des flèches sur les v et le 0 bien sûr.)

Les v1...vn sont tes fonctions ln(ix).

Revient à la définition comme le dit 192bide.

tes fonctions x -> ln(ix) pour tout x réel et pour tout i dans {1,..,4} *

x réel strictement positif* argh

Oui, je me doute justement, mais alors, ça donnerait quelque chose de ce style:
λ(1)ln(x) + λ(2)ln(2x) + ... + λ(4)ln(4x) = 0 ?

C'est ce que j'avais fait, mais après, j'étais parti pour évaluer en plusieurs valeurs, mais manifestement ici, ça ne fonctionne pas. Je suis bien conscient qu'il faut donc trouver un autre argument, mais je ne comprends pas lequel.

Ah non elle est liée, en effet les coefs (1,-2,0,4) marchent.

Ouais ou les coeffs que j'ai proposé au début mais bon

Peut être en remplaçant ln(ix) par ln(i) + ln(x), ce que je viens d'essayer, mais je pense que je manque un argument important...

Je veux comprendre !

Pour montrer que la famille est liée tu dois trouver un 4-uplet (lambda_1,...,lambda_4) différent de (0,0,0,0) tq
lambda_1 ln(x) + lambda_2 ln(2x) + lambda_3 ln(3x) + lambda_4 ln(4x) = 0. pour tout x réel strictement positif. Ca c'est la définition de lié.

Comme tu peux le vérifier, ln(4x)-2ln(2x)+ln(x)=0 quelque soit x réel stt positif. Donc les coef (1,-2,0,4) marchent et donc la famille est liée.

Remplacer le 4 de mon 4-uplet par 1 bien sûr

Estebide apprends à lire un coeff sérieux