" Autant, le théorème de Pythagore (par exemple) est simple à utiliser alors qu'on sens bien que ça n'a pas du être facile à trouver"

Oui, surtout qu'à l'époque en grèce antique ils ne travaillaient qu'avec des nombres entiers (même les décimaux n'étaient pas utilisés), alors les irrationnels n'en parlons pas...
Tout avait une interprétation (géométrique la plupart du temps). Pour eux racine de deux n'était pas racine de deux, mais la diagonale d'un carré de côté 1

Du coup la façon dont ce théorème a été découvert doit résulter d'un ensemble de constructions géométriques bien sales

Pas tant que ça, si la preuve n'a pas changé depuis l'époque : http://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_sans_mots#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Pythagore

merci Klaus pour la réponse plus que détaillée, effectivement en regardant mon manuel de 4ème, le nombre négatif n'y est qu'une quantité (d'ailleurs question intermédiaire : tu parles de quantité pour la température, tu voulais dire mesure ou tu confonds les deux pour une raison X?) et seulement pour l'apprentissage de la règle des signes on le fait passer comme opérateur, d'ailleurs dans la manuel la règle des signes est la seule qui n'est pas illustrée par un exemple de la "vie de tous les jours"

Du coup que préconises-tu pour un apprentissage efficace de cette règle?

Sinon ton livre de didactique dont tu as mis le résumé en lien je peux le trouver où? J'ai cherché et je peux ni me procurer de version papier, ni de version numérique.

Je n'ai pas de recette miracle pour la règle des signes que je n'ai jamais eu l'occasion d'enseigner. De toute façon personne ne s'en cache, il y a un gros problème dans les programmes de ce côté là que personne ne sait réellement surmonter pour le moment.

Personnellement si je devais faire comprendre cette règle à un néophyte qui ne suit pas un parcours scolaire, je parlerai certainement de vitesse : Si V est la vitesse d'un mobile à un instant donné, -V est la vitesse de ce même mobile qui effectue le même déplacement mais dans le sens opposé. Avec cette interprétation du "-" comme symétrie (donc opérateur) la règle est clair, mais on est toujours pas dans la quantité et donc toujours pas dans le sensible.

Le fait est qu'il est paradoxalement essentiel de faire comprendre à quelqu'un qui découvre les nombres négatifs que, contrairement aux nombres naturels, les négatifs sont un artifice et que nécessairement ils donnent lieu à des règles artificielles qui n'ont pas d'interprétation.

Désolé j'ai envoyé avant de répondre à ta dernière question : Je ne sais pas du tout comment tu pourrais te procurer l'article de Glaeser, je ne suis pas certain qu'il soit en vente.

Personnellement, tous mes ouvrages didactiques je les emprunte à une bibliothèque d'IREM, notamment celui de Glaeser est au labo de didactique de Paris Diderot, je l'ai eu entre les mains il y a quelques mois.

Si je ne me trompe pas tu es prof, ou au moins dans le milieu de l'enseignement, donc ces bibliothèques t'ouvriront leur portes facilement.

Arf Klaus le parallèle avec la vitesse est très parlant pour quelqu'un qui a des bases (même minimes) en mécanique.

Mais un vrai néophyte ça risque de ne pas l'aider. Disons que quand on a l'aspect vectoriel de la vitesse à l'esprit, c'est immédiat.
Mais pour beaucoup, la vitesse ça reste une grandeur positive, peut importe le sens de déplacement. Bref, à tester, mais je suis plutôt dubitatif