Comment vous illustrez le fait que moins par moins ça donne plus?

En fait je me demande surtout comment les premiers mathématiciens ont trouvé que - * - = + alors qu'ils avaient pas d'axiomatique de Peano rien, ils avaient pas d'algèbre non plus donc ils pouvaient pas faire une démonstration générale

Ba déjà, faut remonter à l'origine des nombre relatifs non?

Faut pas oublier que les premiers nombres étaient les naturels, ils ont peut-être développé une arithmétique avec les naturels, puis ont "inventé" les relatifs (extension des naturels), comme l'ont fait Descartes and co avec les complexes (extension des réels).., et ont donc dût poser des bases, comme la propriété que tu cites là.

Enfin après, je suis pas expert hein, je fais que proposer une théorie

Multiplier par -1 c'est changer le signe, donc en le faisant 2 fois de suite tu retombes sur le même signe. En admettant que la multiplication est commutative, et que (-1)*x = -x...

Prauron oui mais admettre que (-1)*x = -x du coup ça nous fait tourner en rond non?

Ben si tu dis que -x=-x*1=-1x c'est bon du coup.
Je suppose que c'est pas trop dur d'admettre que -x*1=-1x Après je sais pas, mon avis est biasé par le fait que j'ai toujours connu cette règle

Je ne vois pas ce qui est d'étonnant de l'avoir "découvert". Je ne suis peut être pas assez curieux cela dit. Mais pour moi, c'est simple :

on connait les entier naturel

--> on se rend compte qu'on peut calculer des différences de nombre (entre 4 et 6 il y a 2)

--> de la, on invente la soustraction pour la réversibilité (on sait que 4+2=6, mais il doit bien y avoir une façon de passer de 6 à 4 en utilisant toujours la différence qui est de 2)

--> on se rend compte que 3-5 par exemple, n'admet pas de solution dans les entiers naturel

--> on invente alors les entiers rationnels

--> à se moment là, ça coule de source que les entier positif sont les opposé des entier négatif exactement de la même manière que les entiers négatif sont l'opposé des entier positif

--> je zap l'invention de la multiplication, mais puisque n*(-1) = -n, il va de soit que (-n)*(-1) = n (par ce que j'ai dit précédemment, n et -n sont opposé, donc forcément, si n*(-1) donne le résultat opposé de n, il en va de même pour -n. Logique).

Voilà, cette explication convient-il ?

On admet la distributivité (qu'on peut "montrer" avec des aires de rectangles).
(-1)*x + x = (-1 + 1)*x = 0*x = 0 donc (-1)*x = -x.

0*x = 0 car 0*x = (0+0)*x = 0*x + 0*x. En retranchant 0*x de chaque côté 0*x = 0.

Mais là on fait de l'algèbre dans un anneau sans le dire... C'est plutôt un exemple concret qui illustre cette propriété que tu voulais ?

"alors qu'ils avaient pas d'axiomatique de Peano rien"

Tu sais t'as bien fait des additions et des multiplications toute ta vie sans avoir su ce que c'était une lci

"Tu sais t'as bien fait des additions et des multiplications toute ta vie sans avoir su ce que c'était une lci"

Ca n'a aucun rapport, les additions et multiplications de nombres positifs ont une définition sensible qui nous permet d'en faire sans en avoir une définition axiomatique.

C'est là la différence avec la règle du - par - = + qui elle a priori n'a pas de justification sensible facilement appréhendable. Donc pour la comprendre le seul moyen est de le démontrer.

Ce n'est pas que vos réponses ne me conviennent pas mais toutes sous-entendent déjà des connaissances que les mathématiciens antiques n'avaient pas.

En gros si vous voulez que je précise ma demande : Le premier mathématicien qui a établi la règle du - par - vaut +, d'où l'a-t-il sortie? Comment l'a-t-il appréhendé? (Et surtout, qui est ce (groupe de) mathématicien?)

Quelles connaissances ? Les seules règles que j'ai utilisées sont assez intuitives je trouve.

Prauron ta preuve est surement la pire car c'est une preuve type maths modernes, au mieux ce genre de preuve devait se faire à partir des années 1500

après tu peux me rétorquer "oui mais il suffit de la traduire en langage maths antiques" mais dans ce cas on pourrait aussi faire de même pour la résolution d'une équation de degré 2, or ils ne savaient pas les résoudre. C'est justement parce qu'ils n'avaient pas inventé l'algèbre qu'ils n'arrivaient pas à résoudre les équations de degré 2 (encore que je sais plus quel Al-machin y était arrivé)

La résolution d'une équation de degré 2 c'est pas pareil quand même, déjà qu'ils était affolés par la découverte d'un nombre irrationnel...

Aussi c'est difficile de te répondre parce que tu ne fais que dire ce à quoi on n'a pas droit sans préciser ce que tu acceptes d'utiliser.

Au pire, même s'il est vrai qu'ils n'avaient pas encore posé les axiomes de Peanot, cela n'inclue pas qu'ils les utilisaient sans le savoir.

Peut-être que cette propriété est tout simplement une définition, un axiome pur et dur, au même titre que 1=1.

Ben c'est aussi parce que je sais pas ce qu'on a le droit d'utiliser. Ca m'empêche pas de savoir ce qu'on a pas le droit d'utiliser : tout ce qui est des maths modernes

après bien sûr je peux faire mes recherches biblio. pour me renseigner sur ce qui se faisait en matière de démo à l'époque que je cible mais si je viens sur le forum c'est en espérant que quelqu'un les ai déjà fait, apparemment non ^^

Je trouve ça paradoxal en fait de s'intéresser à une science sans se demander d'où elles viennent (c'est pas un reproche, jsuis une bouse aussi en histoire des sciences et c'est parce que j'ai de plus en plus l'impression qu'en fait ce doit être essentiel pour un prof de connaître l'histoire de sa discipline pour l'enseigner, donc j'essaye de m'y mettre cette année). En l'occurrence j'ai du mal à comprendre pourquoi les élèves ont tant de mal avec ce - par - vaut + et c'est pour ça que je voudrais en savoir plus sur l'aspect historique de cette règle, peut être que les difficultés de compréhension viennent de là

Pour la confusion avec ces histoires de signe, je pense, cependant, être bien placés pour expliquer d'où vient la confusion des élèves

Et elle est vraiment très simple:
Pourquoi (-)*(-)=(+) alors que (-)*(-))=/= (+) ?

De plus, en développant, les erreurs de signes sont extrêmement fréquentes, et je parle de trucs du style 3-2(x-6)
Il y a un - devant le 2, alors qu'est-ce qu'il se passe quand on développe?
On prend le moins avec?
On le laisse là et on le met après, au risque d'oublier que le (-) agit sur "toute la parenthèse".

Je pense qu'il s'agit plutôt d'une erreur de calcul mental plutôt que d'une erreur de compréhension de la règle du produit de deux négatifs.

Enfin c'est pas le sujet

Bonsoir,

je monte le fil à l'envers :

Oui 1-Tello, les obstacles cognitifs liés à cette règle sont d'ordre épistémologique et sont les même que ceux qu'ont rencontré les mathématiciens qui sont les premiers à avoir travaillés sur les nombres négatifs. D'ailleurs pour répondre tout de suite à la question initiale du topic, cette règle provient sûrement d'après Viète, donc après 1600, donc la preuve de Prauron va bien ( ). Avant, on connaissait les nombres négatifs en Chine et en Inde, mais personne n'avait pensé à les multiplier entre eux tout simplement parce qu'il n'en avait aucune interprétation, donc aucune utilité (ou vice versa...)

Bref, plutôt qu'un long discours et parce qu'en ce moment j'aime bien proposer des bouquins, je te renvoie vers l' "Epistémologie des nombres relatifs" de Glaeser dans la revue RDM.

http://rdm.penseesauvage.com/Epistemologie-des-nombres-relatifs.html

Quoi? ça date de 1600, pas plus tôt ?

On doit vraiment être matraqué par l'habitude. C'est tellement simple après coup XD

Et puis, c'est bizarre. Autant, le théorème de Pythagore (par exemple) est simple à utiliser alors qu'on sens bien que ça n'a pas du être facile à trouver, autant là ... ça partait évidant, enfin, je ne sais pas. Qu'est-ce qui bloque là dedans, j'arrive pas à comprendre.

P.S.: dans le lien c'est marqué : "on a attendu plus de 1500 ans avant que ...", mais 1500 par rapport à quand ? Et puis, c'est en attendant que ça devienne une banalité, pas en attendant que ça soit découvert.

Cela méritait peut être développement effectivement :

En grèce avec Diophante (IIIème siècle ap. JC), en Chine (IIIème siècle av. JC) et en Inde (VIIème siècle ap. JC) on connaissait les nombres négatifs mais il n'avait pas le même statut que les nombres positifs :
Dans l'article de Glaeser, ce dernier parle d'un des obstacles cognitifs principaux qu'ont rencontré les mathématiciens qui est ce qu'il appelle "l'unification de la droite des réels", qui consistait grossièrement à concevoir les nombres négatifs, le zéro, et les nombres positifs sur une même ligne, et en particulier donc avec un même statut
En particulier, dans les trois civilisations citées, le nombre positif pouvait être une quantité (5 pommes) ou un opérateur (5 fois 1 pomme), mais les nombres négatifs ne pouvaient pas être des opérateurs, ce n'étaient que des quantités, à ces époques principalement associés aux dettes.

Donc ils avaient des règles, dans l'arithmética de diophante, on peut y lire que moins et moins font plus, mais cela a la signification de 0-(-x)=x qui pour Diophante n'était pas une multiplication de nombres négatifs, le - étant un opérateur qui ne pouvait donc provenir d'un nombre négatif (c'est assez confus et difficile à concevoir, parce que nous avons tous sur ce forum surmonté cet obstacle épistémologique)

du coup pour répondre plus précisément à 1-Tello, le problème que rencontrent les élèves est le même, on leur enseigne les nombres négatifs avec un statut de quantité (température, altitude, dettes,...) et d'un coup on leur demande d'apprendre par coeur une formule dans laquelle le nombre négatif ne peut désigner une quantité faute de sens tacite.