Salut o/.

Je bosse sur un DM, sur la dérivation et j'ai une fonction f(x) = x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x - 1.
Sa fonction dérivée vaut alors normalement 4x^3 - 9x^2 - 10 +3x.
Je dois déterminer son signe .
On m'indique que je pourrais trouver une racine évidente de f' et que je dois l'écrire sous la forme d'un produit entre un polynôme de degré 1 et d'un polynôme de degré 2.

Comment je procède ?

Bah déjà tu recalcules ta dérivée, qui est fausse

4x^3 - 9x^2 - 10x + 3* ?

Voila, là elle est correcte
Ensuite on te demande de trouver une racine évidente de f'.
C'est à dire que tu remplaces x par 0, puis 1, puis 2, puis 3, puis -1, puis -2, puis -3, et normalement l'un de ces nombres sera solution de l'équation f'(x)=0. C'est ça, les solutions évidentes

Yep,

Une racine évidente est donc -1 donc tu factorises par (x+1), t'en conclues qu'il existe a,b,c des réels tels que,

4x^3 - 9x^2 - 10x + 3 = (x+1)(ax^2+bx+c)

En fait en général on commence par tester 1 et -1, puis 2 et -2, car 3 et -3 ne sont pas vraiment des solutions "évidentes" à trouver
(pour 0, là c'est facile de voir que ça n'est pas solution)

JamieGourmand Voir le profil de JamieGourmand
Posté le 2 mars 2014 à 21:12:55 Avertir un administrateur
Yep,

Une racine évidente est donc -1 donc tu factorises par (x+1), t'en conclues qu'il existe a,b,c des réels tels que,

4x^3 - 9x^2 - 10x + 3 = (x+1)(ax^2+bx+c)

Et bien sûr 4x^3 - 9x^2 - 10x + 3 = (x+1)(ax^2+bx+c)= 0 ?

Pour les racines évidentes on prend que les nombres entiers ?

(x+1)(4x²-13x+3)

On va pas t'embêter à te dire de chercher une racine évidente si elle vaut 1,1154946497

Et non 9x^2 - 10x + 3 n'est pas égal à 0, il se trouve qu'il existe certaines valeurs de x pour lesquelles cette équation est nulle mais pas toutes, le fait de dire

4x^3 - 9x^2 - 10x + 3 = (x+1)(ax^2+bx+c)= 0 est faux en soit vu que ce que tu dis c'est que ton polynôme est égal au polynôme nul.

C'est pas comme ça qu'on procède, tu développes le tout et tu procèdes par identification.

Sinon y'a Horner au lieu d'identifier

Non mais une racine vaut 1/4.
C'est trop vague pour être évident je suppose.

On a le droit de faire (x-racine)(ax^2+bx+c) juste en disant que c'est une racine évidente ?

Tout polynôme se factorise de la forme suivante,

P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn) avec [x1,...,xn] l'ensemble des racines du polynôme.

Du coup x1 étant une racine évidente tu peux en effet factoriser par (x-x1).

Prends l'exemple avec ton polynôme qui est de degré 3.

P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
= (x-x1)(ax-ax2)(x-x3)
= (x-x1)(ax^2-axx3-axx2+ax2x3)
= (x-x1)(ax^2-x(ax3-ax2)+ax2x3)

Donc P(x) s'écrit bien sous cette forme

= (x-x1)(ax^2-x(ax3+ax2)+ax2x3)

Erreur à la dernière ligne

Je vois pas bien comment factoriser 4x^3-9x^2-10x+3

4x^3 - 9x^2 - 10x + 3 = (x+1)(ax^2+bx+c)

On en est ici okay ? On développe.

= ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c
= ax^3+(b+a)x^2+x(b+c)+c

On procède par identifications (on cherche a,b,c tel qu'on puisse retrouver notre polynôme)

Il va de soi que a=4 et c=3, ensuite on a b+a= -9 donc b=-13 et voilà c'est terminé,

= (x+1)(4x^2-13x+3) on retrouve ce que nous a dit superbass plus haut

La règle c'est (x-racine)(polynôme) ou (x+racine)(polynôme) ?

C'est comme je t'ai dis, (x-racine) sauf que racine = -1 donc (x-(-1) = (x+1)