Suite à cet exercice : https://www.jeuxvideo.com/forums/1-35-8998716-1-0-1-0-arithmetique.htm

un problème similaire :

on a l'équation (x²+23)(x^3-x-1) = 0

1) La résoudre dans Q

2) La résoudre dans Z/pZ pour tout nombre premier p.

1) d'accord

2) pour p=3, x=1 est pas solution

et sinon tu peux raisonner sur {1,...,p} dans Z/pZ, enfin les classes quoi c'est bizarre quand tu dis que pour les autres p ce sont les "x non divisibles par p"

En fait je t'arrête tout de suite parce que je me suis "trompé" d'énoncé.

Enfin pas trompé, mais le but c'est pas de la résoudre mais juste de trouver les p pour lesquels il existe une solution.

ce que t'as fait jusque là sert quand même puisqu'on voit déjà que ça marche pour p=2,3,5

Faut savoir quand le reste de la division euclidienne de -23 par -p est un carré parfait de Z/pZ.

Est un carré quoi...

oui Prauron mais pas que, en fait cette équation est diaboliquement parfaite (source : RMS)

Ouais en fait je m'occupais juste de x²+23 = 0[p].

Indice : faut faire comme j'ai fait la première fois dans le topic que j'ai mis en lien au début

Le discriminant de x^3-x-1 est... -23.

Oui mais c'est que le début d'une longue aventure. Moi je vais me coucher j'ai déjà fait ce voyage. ++

non pas du tout

tu te sous-estimes t'as plus qu'un niveau de TS non?

t'es largement au dessus du niveau TS alphaciel

Il voulait peut-être juste parler des notions requises

En fait il y a 3 cas à considérer, 1 très facile déjà fait (le cas où -23 est un carré), un autre pas trop dur déjà bien entammé et l'autre compliqué

j'vous aide --> utilisez les formules de Cartan

vous voulez une solution?

Joli problème mais je me demande quelle solution Amandin attend, notamment le cas difficile, il semble vraiment difficile (Amandin, as-tu une preuve sans Galois?)

Alphaciel[67] ça m'a l'air pas mal ce que tu as fait.

On aurait pu faire plus simple en partant directement du discriminant de X^3-X-1 :

Discriminant = [1/2 + 1/2 sqrt(23/27)]^(1/3) + [1/2 - 1/2 sqrt(23/27)]^(1/3)

A partir de là on voit que tout revient à l'existence d'une racine carrée de 23/27, comme tu l'as sous-entendu.

Or 23/27 = -23 * (-3)/9²

donc l'équation aura une solution dès lors que (-23)*(-3) est un carré, ce qui arrive certainement dès que ni -23, ni -3 ne sont des carrés mod p (le produit de deux non carrés est un carré). C'est beaucoup plus délicat lorsque -23 n'est pas un carré mais que -3 lui l'est, et c'est pour ce que cas que je passe par Galois.

Manque une ligne :

"On aurait pu faire plus simple en partant directement du discriminant de X^3-X-1 :

Discriminant = -23

Donc par les formules de Cardan, on obtient comme solution : X= [1/2 + 1/2 sqrt(23/27)]^(1/3) + [1/2 - 1/2 sqrt(23/27)]^(1/3) "