x^2+x+3=0 (modulo 5) si et seulement si x=1 (modulo 5)

Salut je voudrais savoir comment faire pour repondre a sa car je pense a faire le discriminent mais je vois pas d'autre solution quelqu'un sait il comment faire ??

Et ça marche aussi pour x=3[5].

Méthode bête : essayer x=0[5], x=1[5],..., x=4[5] et voir que ça marche que pour x=1[5] et x=3[5].

Autre méthode : x²+x+3 = 0[5] <=> (x-1)(x+2) + 5 = 0[5] <=> (x-1)(x+2) = 0[5]
<=> 5 divise (x-1)(x-2) <=> 5 divise x-1 ou 5 divise x+2 (car 5 est premier !) <=> x=1[5] ou x=-2=3[5]

Prauron

Alphaciel[67] Voir le profil de Alphaciel[67]
Posté le 10 décembre 2013 à 20:07:45 Avertir un administrateur
Et faire le discriminant est ici absolument stupide car il ne vaut que pour des équations, pas des congruences...

Sauf en faisant un peu de magie noire dans les anneaux de congruence, non ?

De la magie noire dans les anneaux de congruence ? Ça a l'air intéressant !

Faut un compas spécial inventé par Gauss.

on peut faire le discriminant ici faut juste donner un sens à à la racine carrée.

Delta = 1-12 = -11

et -11 = -1 = 3² mod 5

et les racines sont : x1 = (-1-3)* 1/2 = -4 * 3 = -12 = 3 mod 5 et x2= (-1+3) * 1/2 = 2*3= 1 mod 5

on retrouve bien les deux solutions de Prauron

-11 = -1

toute façon jpense que le mieux c'est pas de retenir le discriminant mais la forme canonique parce qu'au final c'est elle qui justifie que le discriminant marche ou pas et ça évite d'avoir à l'expliquer.

donc ici il suffirait d'écrire
x²+x+3=(x+3)² - 1 = (x+2)(x+4) = (x-3)(x-1) mod 5

donc x²+x+3 = 0 mod 5 <=> (x-3)(x-1) = 0 mod 5

et c'est terminé parce que Z/5Z est intègre

en fait javais pas vu que l'auteur était en TS donc oui c'est un peu difficile surtout que pour mod 5 c'est plus facile et rapide de tester tous les cas. Mais bon c'est bon à savoir pour généraliser modulo un grand nombre. Tiens d'ailleurs j'ai un exo sympa à ce sujet faut que je le retrouve

Ouais le "Z/5Z est intègre" en général on évite en TS.