Bonsoir,

J'ai vraiment un exercice dur à faire j'y ait passé au moins 4 heures sans succès...

N est un entier positif et z un nombre complexe avec comme module 1. A noter que Z^2n est différent de -1.

Montrer que Z^n/(1+Z^2n) est un nombre réel.

A noter que je n'ai pas vu les formes exponentielles donc il faut faire sans :s.

Pose z= a +ib a,et b des réels. Dévellope ton nombre et regarde si'l ya plus de i

Sauf que en faisant cette méthode on ne peut tout simplement pas déveloper (a+ib)^n:

Z^n/(1+Z^2n)=(a+ib)^n/(1+(a+ib)^2n)

Un complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué. En utilisant les propriétés de la conjugaison ainsi que la propriété z*conj(z) = |z|², tu devrais réussir.

le conjugué de Z^n/(1+Z^2n) c'est bien Zbarre^n/(1+Z^2n)?

Non, il faut aussi conjuguer le dénominateur.

Sauf que meme en faisant avec le conjugué c'est absolument infaisable de développer Z^n*ZBarre^n/(1+Z^2n)(1+Zbarre^2n)

Ah mais je t'ai pas dit de développer, juste d'utiliser les propriétés de la conjugaison. N'oublie pas que |z| = 1 et que z*conj(z) = |z|^2, ça peut servir...

Faut juste dire que module de |z| =|zbarre|= 1 donc que
|z|*|conj(z)|=|z|²? je vois pas du tout ou tu veux en venir

Là où je veux en venir c'est qu'il faut montrer que conj(Z) = Z, en notant Z = z^n/(1+z^(2n)). Et pour ça à un moment donné il faut utiliser le fait que z*conj(z) = |z| = 1.

Là je peux pas t'en dire plus sans te donner la réponse.

Euh attend z*conj(z)=|z|? je suis pas d'accord car |z|=1=racine(z*conj(z)) c'est écrit dans mon cours.

Oui j'ai oublié le carré, mais je l'avais noté correctement tout à l'heure...

Je comprends pas du tout

z*conj(z) = |z|² = 1. donc

z=1/conj(z)?

Oui tu peux utiliser ça si tu veux.

sauf que z=1/conj(z) sa prouve pas du tout que c'est un nombre réel

Non mais faut pas montrer que z est réel, faut montrer que Z = z^n/(1+z^(2n)) est réel.

Wat? mais je vois pas en quoi cette egalité montre que Z est réel

Pourtant, conj(Z) = conj(z)^n/(1+conj(z)^(2n)) = (1/z^n) /(1 + 1/z^(2n)). En multipliant numérateur et dénominateur par z^(2n) on retombe sur Z...

Si tu ne comprends pas la méthode de Prauron, effectue le calcul suivant (ton nombre moins son conjugué)

Z^n/(1+Z^2n) - conj(Z)^n/(1+conj(Z)^2n)

En mettant au même dénominateur et en remarquant que Z^n*conj(Z)^2n = conj(Z)^n, tu devrais pouvoir montrer que cela fait 0.

Prauron je comprends pas 1/conj(z) sa fait pas (1/Zbarre^n)/(1+1/Zbarre^2n) mais (1/Zbarre^n)/(1+Zbarre^2n)