je profite de voir des interventions d'hachino et klausvs pour up une derniére fois

ca veut dire quoi polynômes minimaux?

Niontrix On dit que P est un polynôme annulateur de x irrationnel sur Q (rationnels) si il vérifie P(x) = 0.

Parmi ces polynômes, tu peux voir qu'il y en aura au moins un dont le degré sera le plus petit possible. Si on impose de plus que le coefficient devant le terme de plus haut degré soit 1, ce polynôme est unique.

Exemple : X²-2 annule sqrt(2) (et c'est même son minimal).

1Tello Ça a pas l'air facile ton histoire, mais j'ai peut-être une piste. Pour lavoir, il faut se lancer dans des calculs pour les premières valeurs de n, à chaque fois qu'on rajoute une "vraie" racine (sqrt(4) par exemple est inintéressant). Note que du coup on peut jarter les termes entiers, dont le 1 au début de ta somme, eux n'influeront pas sur le résultat.

n=2 : Il faut montrer que sqrt(2) est irrationnel. C'est connu, mais comment on le montre déjà ? Ah oui : on élève au carré et on raisonne par l'absurde, c'est ça.

n=3 : Posons x = sqrt(2) + sqrt(3). Alors x² = 5+2sqrt(6) est irrationnel. Tiens, encore un carré.

n=5 : Posons x = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5). On a x² = 10 + 2*(sqrt(10)+sqrt(15)+sqrt(6)). Pas terrible. Mais en repassant au carré et en arrangeant un peu tout ça, on a x^4 - 20x² - 8*sqrt(30)x - 24 = 0. Miracle, sqrt(30) nous sauve : supposer x rationnel mène à une contradiction violente.

Conjecture : une manière de s'en sortir est d'élever ton machin à une puissance 2^(truc), où truc est le nombre d'entiers non carrés parfaits entre 1 et n, soit à peu près E(n-sqrt(n)). Ah, et il va falloir aimer la combinatoire et les gros calculs accessoirement.

(Comment ça c'est dégueu ? Meuh non, à peine. )

Une preuve simple mais non élémentaire :

si somme des Vi, i<n est rationnel alors chaque Vk s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients rationnels des autres Vi. Alors Q(Vk) pour k non carré parfait est une extension quadratique de Q contenue dans l'extension Q(V1,...,Vn) où la parenthèses ne contient pas Vk. (les éléments V(k²) sont inutiles dans la parenthèses précédente bien sûr mais flemme)

Or, les extensions quadratiques de Q contenue dans Q(V1,...,Vn) sont simples et de la forme Q(produit arbitraire de Vj) mais aucune de ces extensions ne peut être Q(Vk). Contradiction.

Ce deuxième paragraphe est expédié alors qu'il est délicat, ceux qui sont intéressés trouveront des démonstrations dans tout bon bouquin de théorie de Galois.

Nos preuves avec Hachino se sont croisés. Pour résumé il fait à la main ce que je fais en invoquant sournoisement Galois. Malheureusement quand on veut généraliser la preuve à la main ben on va être ramener à devoir faire ce qu'a fait Galois pour prouver ce que j'ai utilisé. Comme surement personne n'a ce courage, autant citer l'homme plutôt que le copier.