Si f est une bijection de N* dans lui même pourquoi nécessairement f(n) est équivalent à n ?

Ça a l'air intéressant, j'y réfléchis

Ça a l'air intéressant, tu peux le réécrire d'une autre façon?

Attends, t'es sûr que ça marche ?
Si on prend par exemple la bijection qui à n associe n² si n est premier, racine de n si n est le carré d'un premier et n sinon.

alors f(n)/n ne tend pas vers 1 (puisqu'elle admet une sous suite qui tend vers l'infini) et donc f(n) n'est pas équivalent à n...

Ça m'a l'air bien faux ce résultat.

Considère l'application de N* dans lui-même définie par morceaux comme suit : sur chaque intervalle d'entiers [n! +1, (n+1)!], f agit en renversant les entiers (n!+1 devient (n+1)!, n!+2 devient (n+1)! -1,.., (n+1)! devient n! +1).

La bijectivité de f est claire (c'est même une involution) et f(n!+1)/(n!+1) ~ n. En modifiant un poil la méthode, on peut choisir à la place de n n'importe quel autre équivalent, de préférence à croissance très rapide.

Voila même une preuve de la fausseté du résultat bien plus sympathique que mon bricolage

oui j'avais le même contre-exemple que Dagnyr.

Je propose une autre formulation : Si f est une bijection de N* dans lui même alors soit f(n) est équivalent à n, soit f(n)=n*g(n) où g(n) est une suite divergente.

(c'est pas un exercice, c'est moi qui essaye de conjecturer)

Faux : si tu reprends ma construction, on peut aussi ralentir la convergence jusqu'à, disons, sqrt(n) (ou E(sqrt(n), pareil), donc c'est encore faux.

Hachino dans ton cas f(n)/n diverge non?

Je pense qu'il voulait dire la divergence, ouais.
En même temps, je vois mal comment une permutation de |N* pourrait converger

En fait je comprends pas ta construction Hachino que vaut f(3) par exemple??

Dagnyr f(n)/n c'est pas une permutation c'est f(n) qui en est une

C'est mal défini au début car 0! = 1! mais tu peux facilement bricoler les 5 premiers termes et commencer pour n = 3.

Tello Si il faut on laisse les premiers termes invariants et on applique la construction que j'ai donnée seulement pour n assez grand, c'est pas important pour ton exo.

Et ce que je voulais dire, c'est que tu peux remplacer dans mon exemple n! par n'importe quelle suite strictement croissante d'entiers, comme E(sqrt(n)) par exemple.

... J'viens de m'apercevoir que la deuxième affirmation était fausse, si on remplace n! par E(sqrt(n)), on a bien l'équivalent f(n) ~ n, mea culpa. Du coup ta deuxième classification n'est pas réfutée.

1-Tello Voir le profil de 1-Tello
Posté le 27 octobre 2013 à 22:07:20 Avertir un administrateur
Dagnyr f(n)/n c'est pas une permutation c'est f(n) qui en est une

Oui, je pensais qu'il parlait de f(n) et pas de f(n)/n
Mais c'est vrai que j'ai pu mal comprendre.

Ok Hachino donc en résumé pour le moment ma conjecture est toujours une conjecture!

La deuxième version oui, reste à voir si elle se tient jusqu'au bout.

... et à vue de nez c'est vérifié, puisque le seul cas qui n'est pas couvert par ta classification, c'est celui où f(n)/n -> L, avec L =/= 1.

- Si L < 1, pour n assez grand (disons n >= N), f(n) <= (1-eps)*n, eps > 0 étant possiblement petit, mais non nul. Soit N1 un entier assez grand et plus grand que N. Considérons l'ensemble des images {f(1), f(2),..., f(N1)}. On aboutira à une contradiction si on montre que toutes ces images sont plus petites que N1-1, contredisant ainsi l'injectivité de f.

Cette affirmation est vérifiée pour le sous-ensemble {f(N),..,f(N1)} grâce à la majoration, et en choisissant N1 assez grand, f(i) <= N1-1 pour 1 <= i <= N (rappelons que N est fixé bien avant N1, évitant ainsi un raisonnement cyclique).

- Si L > 1, on contredit la surjectivité de f avec une méthode analogue.

j'ai trouvé un truc

je note f' la fonction réciproque de f alors f(f'(n))/f'(n)=1/(f'(n)/n)

donc lim f(n)/n = l => lim f'(n)/n = 1/l

mais si l > 1 alors 1/l < 1 donc... on doit pouvoir faire quelque chose avec ça

ah javais pas vu ton message je lis ça