soit f(x)=x+V(x²-x) de [1;+oo[ a [1;+oo[ :

1-Montrez que f est injective

c'est la ou je bloque j'arrive pas a démontrer que f(x)=f(y) => x=y

PS: c'est juste que j'ai plus de temps je l'aurais résolu

f'(x) = 1 + (2x-1)/2V(x²-x) > 0

La fonction est strictement croissante sur [1;+oo[ d'où l'injectivité

le prof nous demande d'utiliser ca f(x)=f(y) => x=y

Ben ça c'est la définition d'injectivité, mais la croissance stricte implique l'injectivité :
On a : Pour tout (x,y) dans I² (je note I l'ensemble de def), x < y => f(x) < f(y)

Donc si f(x) = f(y), par contraposée, on ne peut avoir ni x < y ni y < x, donc x = y.

Enfin, tu as déjà vu la dérivation ?
Ça me paraissait évident parce que pour moi on voyait pas la notion d'injectivité avec le bac +1, mais j'ai l'impression que tu es en première, donc c'est pas dit...

même si le prof va encore me dire on a pas encore fait ça c'est pas grave

une deuxième question: on a f(x;y)=(x+y;xy) de R² a R²
et E={(x;y) E R²/ x<y} et F={(x;y)E R²/x²-4y>0}
montrez que f(E) C F

j'ai compris qu'il fallait montrer que f est injective de E a F mais je sais pas comment continuer

je suis en première Science Maths (je ne suis pas français) c'est pour ca qu'on a l'injectivité

Niontrix Voir le profil de Niontrix
Posté le 27 octobre 2013 à 20:36:52 Avertir un administrateur
même si le prof va encore me dire on a pas encore fait ça c'est pas grave

une deuxième question: on a f(x;y)=(x+y;xy) de R² a R²
et E={(x;y) E R²/ x<y} et F={(x;y)E R²/x²-4y>0}
montrez que f(E) C F

j'ai compris qu'il fallait montrer que f est injective de E a F mais je sais pas comment continuer

Pas besoin d'injectivité, a priori.
Tu as juste besoin de montrer que tout élément de f(E) est dans F, c'est à dire que si tu prends un couple (x;y) tel que x<y, f(x;y) appartient à F.

je voulais dire surjective mais ta technique est plus efficace

t'aurais pas trouvé de technique pour montrer l'injectivité de la première?

Niontrix Voir le profil de Niontrix
Posté le 27 octobre 2013 à 20:47:57 Avertir un administrateur
je voulais dire surjective mais ta technique est plus efficace
C'est vraiment la méthode standart pour ce type de question.
Tu te poses pas de question, tu appliques directement les définitions. Après, la seule difficulté est de ne pas s'embrouiller à cause des variables muettes. (Et de penser à utiliser une identité remarquable mais c'est pas moi qui te l'ai dit )

t'aurais pas trouvé de technique pour montrer l'injectivité de la première?

Hmm, du coup j'y ai pas plus réfléchi... Tu me dis que tu n'as pas vu la dérivation ?
Ben, tu peux toujours montrer que la fonction est strictement croissante sans utiliser la dérivation :
on prend x et y des réels tels que 1 <= x < y
montrons que f(x) < f(y) :
y > x
y-1 > x-1
donc y²-y > x²-x (on peut multiplier les inégalités vu que tous les membres sont positifs)
donc V(y²-y) > V(x²-x) (la fonction racine carrée est strictement croissante sur |R+)
donc y + V(y²-y) > x + V(x²-x)

Et donc si f(x) = f(y), il est impossible que x et y soient différent (dans ce cas, l'un est strictement supérieur à l'autre et la croissance stricte impose que f(x) soit différent de f(y))

donc il suffit de démontrer que x>y => f(x)>f(y) pour démontrer que f(x)=f(y) => x=y?

Alors ce n'est pas la seule méthode, et on peut avoir injectivité sans avoir croissance (ou décroissance) stricte, mais oui, ça suffit.
Si tu ne comprends pas la fin de ma démonstration, tu peux aussi le constater sur un dessin : si ta fonction est strictement monotone, elle ne peut pas prendre la même valeur en deux points différents.

Par contre, en toute logique, si cette propriété (monotonie stricte implique injectivité) n'est pas dans ton cour, il faut la redémontrer

tous ce qu'on a dans le cours est f(x)=f(y) => x=y

comment on peut la démontrer?

désolé si je dérange

on pourrait utiliser ça? :

x =/= y => x²=/=y² (parce que x et y sont positifs) donc V(x²-x)=/=V(y²-y) (parce que x²-x est positif dans [1;+oo[) donc x =/= y => x+V(x²-x)=/=y+V(y²-y) et on l'implication est prouvé

c'est correct?

T'en fais pas, si je te réponds c'est bien que ça me dérange pas (en fait ça me fait une excuse pour pas bosser mes DM )

Alors on reprend :
On considère une fonction de A dans |R, avec A une partie de |R.
On suppose que f est strictement croissante, c'est à dire que pour tout (x;y) dans A², x<y => f(x) < f(y)

Soit maintenant (x;y) dans A² tel que f(x) = f(y)
Alors il y a trois cas possible :
x<y, mais alors f(x) < f(y), ce qui est absurde (puisqu'on a supposé que f(x) = f(y)
x>y, mais de la même manière que pour x<y, c'est absurde
x=y
Ainsi, x=y est le seul cas possible.

Donc pour tout (x;y) dans A², f(x) = f(y) implique x = y, i.e f est injective

Voilà, j'ai essayé de beaucoup détailler, j'espère que tu comprends l'idée.

Maintenant, on peut montrer facilement que ça marche aussi si f est strictement décroissante. Comment ?

désolé du triple post

fail dans le lien c'est :

le comment a mérité son ;

On suppose que f est strictement décroissante, c'est à dire que pour tout (x;y) dans A², x>y => f(x) < f(y)

Soit maintenant (x;y) dans A² tel que f(x) = f(y)
Alors il y a trois cas possible :
x<y, mais alors f(x) > f(y), ce qui est absurde (puisqu'on a supposé que f(x) = f(y)
x>y, mais de la même manière que pour x<y, c'est absurde
x=y
Ainsi, x=y est le seul cas possible.

Donc pour tout (x;y) dans A², f(x) = f(y) implique x = y, i.e f est injective

désolé du copier coller

Niontrix Voir le profil de Niontrix
Posté le 27 octobre 2013 à 21:24:25 Avertir un administrateur
on pourrait utiliser ça? :

x =/= y => x²=/=y² (parce que x et y sont positifs) donc V(x²-x)=/=V(y²-y) (parce que x²-x est positif dans [1;+oo[) donc x =/= y => x+V(x²-x)=/=y+V(y²-y) et on l'implication est prouvé

c'est correct?

x =/= y => x²=/=y² est vrai, puisqu'on travaille avec des réels positifs, mais en quoi ça implique
que x²-x =/= y²-y ?

Niontrix Voir le profil de Niontrix
Posté le 27 octobre 2013 à 21:30:54 Avertir un administrateur
le comment a mérité son ;

On suppose que f est strictement décroissante, c'est à dire que pour tout (x;y) dans A², x>y => f(x) < f(y)

Soit maintenant (x;y) dans A² tel que f(x) = f(y)
Alors il y a trois cas possible :
x<y, mais alors f(x) > f(y), ce qui est absurde (puisqu'on a supposé que f(x) = f(y)
x>y, mais de la même manière que pour x<y, c'est absurde
x=y
Ainsi, x=y est le seul cas possible.

Donc pour tout (x;y) dans A², f(x) = f(y) implique x = y, i.e f est injective

désolé du copier coller

Certes, mais il y a un moyen d'obtenir le résultat pour f strictement décroissante en utilisant le résultat pour f strictement croissante, sans tout redémontrer

parce que x(x-1)=/=y(y-1) dans [1;+oo[

vu que j'ai pans encore étudié les dérivés je trouve pas d'autres techniques