[192_WARS]v3 Elle admet des primitives, elles ne sont juste pas exprimables avec des fonctions usuelles.

Blue c'est vrai, c'est le théorème de Darboux, et du coup c'est facile d'exhiber une fonction non primitivable (genre f(0)=1 et f nulle sur R*). Mais je ne pense pas que le théorème de Darboux aide pour cet exo parce que si f vérifie le TVI, alors f² aussi.

(donc à partir de là pour en trouver une comme tu l'as demandé ensuite c'est pas très compliqué, genre tout simplement une fonction de Heaviside. Mais après je vois pas trop comment utiliser ça pour le problème initial)

la fonction de iv555 convient pas. Par contre je comprends pas son truc de l'intégration, je me demande s'il n'a pas lui même confondu "primitivable" et "intégrable". Attendons sa réaction.

si la primitive n'est pas "intégrable en 0" en particulier elle n'est pas continue en 0 et donc la primitive n'existe pas en 0

iv t'es sûr ?
La dérivée de x²sin(1/x) n'admet pas de limite en 0 mais est primitivable

oui mais x².sin(1/x) est continue en 0.

bon avec f(x) = x^p .sin(1/x)

f'(x) = p.x^(p-1).sin(1/x) - x^(p-2)cos(1/x) = g(x)

On prend 1 < p < 2 déjà pour avoir une dérivabilité en 0 mais que f' pas continue en 0.

Pour tout x > 0 on a

∫g²(x) = f(x)g(x) - f(0)g(0) - ∫f(x)g''(x)
f(x)g(x) - f(0)g(0) -> 0 quand x -> 0 car 2p - 2 > 0

∫f(x)g''(x)
= ∫x^p .sin(1/x)(A.x^(p-2)sin(1/x) + B.x^(p-3)cos(1/x) + C.x^(p-4)sin(1/x)

2p - 3 > -1 donc y a intégrabilité des termes en x^(p-1) et x^(p-2)

mais pas intégrabilité du terme en x^(p-4)sin²(1/x) positif

donc l'intégrale n'a pas de limite finie en 0 et en plus elle est pas continue donc tant mieux

je peux pas retranscrire les calculs ici de suite, mais en reprenant a peu près l'exemple d'IV je crois que la fonction x->sin(1/x), et valant 0 en 0; convient, non ?

Si je me trompe pas x->sin²(1/x) admet une primitive sur R seulement si on la prolonge par 1/4 en 0.

Ah oui tu parlais de la primitive, je suis un peu long à la détente

non, la limite quand x tend vers 0 de sin(1/x) n'est pas défini. On ne peut pas dire qu'elle vaut 0.
sin(0) = 0 on est d'accord, mais sin(inf) on ne sait pas, ça peut très bien être sin(z*Pi/2) (avec z un entier) ça vaudra 1 et pourtant la valeur dans le sinus tend vers l'infini quand z tend vers l'infini. Comme x est réelle et que 1/x tend vers inf quant x tend vers 0, alors sin(1/x) quand x tend vers 0 ne tend pas vers 0. on sait que sa valeur est comprise entre -1 et 1 mais c'est tout.

après, la dérivé de x^p .sin(1/x), c'est pas plutôt x^(p-1).sin(1/x) - x^p/x.cos(1/x) = x^(p-1).(sin(1/x) - cos(1/x)) ?

Bon pour ça, j'ai un petit doute, je suis un peu rouillé en calcul, ça fait longtemps que je n'ai pas dérivé une fonction . Donc je peut m'être trompé.

arf, j'ai oublié un p XD

donc je reprend :

dérivé de x^p.sin(1/x)

x^(p-1).(p.sin(1/x) - cos(1/x))

Et maintenant je pense à un truc (oui je suis bien rouillé, c'est bien ce qu'il me semblait)

la dérivé de sin(u), c'est -u'cos(u) et la dérivé de 1/x c'est -1/x² XD donc en fait la dérivé de iv555 était juste XD

il serait tant que je m'y remette ^^

Trent: oui ok mais ça n'a aucun rapport, on peut très bien prolonger une fonction comme on le veut. En l'occurence f définie sur R par f(x)=sin(1/x) si x non nul, et f(0)=0....
Et je crois que l'exemple convient bien.

Le gagnant est blus ( et les perdant tous ceux qu'on ouvert le topi c qui portait clairement un titre de maths mais qui disent qu'ils ont pas que ça à foutre de faire des maths en vacance. Fail)

Moi j'avais cos(1/x) prolongée en 0. L'idée pour la dèmo est bien d'utiliser Darboux couplé aux formules de linéarisation des fonctions trigo.

Merci aux participants qui ont prouvé que la passion se vit à toute période de l'année.

et moi j'ai tort?

pour moi la dérivée de x.sqrt(x)sin(1/x) fonctionne

Pour le coup j'ai compris la solution d'iv mais pas la vôtre

iv555 c'est bon aussi oui mais "trop compliqué" je peux pas te déclarer gagnant sans recherche d'optimisation

toi tu utilises darboux

morphisme si (cos(1/x))^2 était primitivable alors en linéarisant et en retirant à cette fonction la partie avec le cos de la linéarisation on obtiendrait une fonction qui ne prend que deux valeurs qui ne peut donc pas être primitivable. jte laisse faire les calculs c'est super chiant à rédiger sur mobile!

cos(1/x) comment tu sais qu'elle admet une primitive au fait?

darboux niveau sup, l'intégrabilité niveau spé, darboux gagnant

En fait ma question c'était surtout sur l'existence d'une primitive à cos(1/x) prolongée par 0 en 0