Mais encore ?

bah je dis pas la réponse moi c'est un topic pour ceux qui rentrent en prépa mais ils peuvent s'aider de mon indication

Bah envoie ta démo par MP

On partitionne N à l'aide de n suites arithmétiques de raisons r1, ..., rn.

Supposons

U1_n=U1o+n*r_1
U2_n=U2o+n*r_2
.
.
.

Un_n=Uno+n*r_n

U1+U2+...Un=IN ????

Enfin c'est ça que j'ai compris dans l'énoncé

Une suite "produit" un certain nombre d'entiers lorsque n varie 'kay ? Par exemple, sur l'intervalle [1, N], la suite u_(1, n) produit E(N/r_1 - u_1/r_1 + 1) entiers.

Il faut donc que la somme des E(...) lorsque k varie de 1 à n donne N (on considère une parition d'un ensemble fini), puis pous obtenir l'ensemble des naturels, faudra faire tendre N -> +oo ...

Non Dio, c'est N = {U1_n, n €N} U ... U {Um_n, n € N} et deux ensembles distincts n'ont aucun élément en commun.

Si je ne dis pas de bêtise, une des suites a nécessairement son premier terme = 0 (sinon il faudrait une raison négative pour faire une partition de N afin d'inclure le 0 dans une des partitions, et à partir d'un certain rang la suite décrirait les entiers négatifs).On note sa raison r1.
Si r1 = 1, le problème est fini. Sinon le plus petit élément de N*\{n*r1} est 1. Donc pour les mêmes arguments que 0, il existe une suite qui a pour premier terme 1. On note sa raison r2.
On répète ce procédé jusqu'à rn.

Bon départ ou faux ?

"E(N/r_1 - u_1/r_1 + 1)"

Pas compris ce que t'as mis dans ta partie entiere

C'est vrai ce que tu écris Logical, le blème c'est que si tu essayes de continuer ton raisonnement, la complexité va augmenter rapidement et tu vas rien pouvoir faire. Surtout, ça semble pas mener à l'égalité voulue.

Logical > Je considère l'intervalle [|1, N |] et les suites u_(k, n) = u_k + (n-1)*r_k (pourquoi n -1 et pas n ? Car sinon ça ne marche pas, tu verras pourquoi, enfin avec ma méthode)

Combien y a d'entiers u(k, n) entre 1 et N ?

D'accord merci Hachino !
Bon je capitule pour l'exo

J'aurais dit
0 si u_k > N
E((N-u_k)/r_k) + 1 sinon

Bah,

u_k + (n-1)r_k <= N <=> n-1 <= N/r_k - u_k/r_k <=> n <= N/r_k - u_k/r_k + 1

Donc n varie de 1 à E(N/r_k - u_k/r_k + 1). Cet intervalle comprend donc E(N/r_k - u_k/r_k + 1) entiers, donc u(k, n) produit E(N/r_k - u_k/r_k + 1) entiers dans l'intervalle [1, N]

J'ai pigé ! J'ai aussi compris ta méthode de partitionnement mais je ne vois pas le rapport avec la somme des inverses des raisons ! Il faut sommer les parties entières, les borner, puis faire tendre N vers +oo ?

Exact ! Faudra "sandwicher" la somme des inverse des raisons entre deux bornes qui tendent vers 1 lorsque N -> +oo !

moi je proposais un truc plus simple mais je me trompe peut être

on prend un entier p assez grand pour que toutes les suites aient déjà eu leur premier terme et ensuite on choisit les entiers de p+1 à p + r1.r2...rn

Pour la 1ere suite de raison r1, il y a exactement r2.r3...rn termes de la suite entre p+1 et p + r1.r2...rn
Même chose avec les autres suites

ensuite en sommant ça donne r2.r3...rn + r1.r3....rn + ... + r1.r2....rn-1 = r1.r2....rn et en divisant des 2 côtés par r1....rn on a ce qu'on veut

Logical Intuitivement, quelle "proportion" des entiers est représentée par l'ensemble des multiples de r, r € N ?

n/r avec n très grand Hachino ?

Ok Eav, j'aurais jamais trouvé ça seul je pense, bien joué !

Eave a l'air d'avoir fait un truc un peu compliqué, IT a plus simple et plus intuitif. Raisonnablement, on s'attend à ce que les proportions d'entiers représentés par chaque suite s'ajoutent. Pour une suite arithmétique, cette proportion est juste 1/r et en sommant on retrouve N tout entier, donc proportion 1, d'où la formule à montrer.

Ouais c'est sûr que dit comme ça Hachino c'est bien plus simple !