Hello, je suis en première Set je fais les proba en ce moment.
Je n'arrives pas à faire cet exercice même si il est simple parce que je n'était pas là lors du cours... Pouvez vous m'aider ?

Il y a en France, 9% d'illettrés en 2010. On choisit au hasard dans la population française quatre personnes, de façon indépendante. La population totale est suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler cette expérience à la répétition de tirages indépendants.
1) Quelle est la probabilité que ces quatre personnes soient illettrés ?
2) Quelle est la probabilité qu'au moins une d'entre elle soit illettrés ?
3) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes illettrées; Déterminer la loi de probabilité X (en cherchant la probabilité que 3,2 ou 0 personnes soient illettrées.

Ah et voici la réponse que j'ai réussis à trouver :
1) P(X=4)= 1/4x1/4x1/4x1/4= 6,561*10^-5
Voilà, le reste j'ai beau essayer j'y arrive pas.... help !

C'est quoi X ? tu n'a rien défini.

Pour le 2) pense à utiliser l'événement contraire.

X correspond au nombre d’illettrés sur les 4 personnes choisies.
Pour le 2) utiliser l'évènement contraire correspond à " aucun d'entre eux est illettré non ?
j'en suis pas sur mais je pense à :
1) Calcul de la proba de l'évènement "Ils sont tous illettrés".
2) Calcul de la proba de l'évènement "personne n'est illettré" avec le calcul 1 - (proba "Ils sont tous illettrés"). Puis faire le calcul 1- (proba "personne n'est illettré").
3) Je sais pas.

En ce qui concerne tes événements:
1) clairement on a l'événement les 4 personnes sont illettrées.

2) Si il y en a au moins une d'entre elle qui ne l'est pas, c'est qu'on bien l'événement contraire de "Aucun n'est illettré". Tu peux le formaliser aussi sous la forme X>=1, donc c'est X=1, X=2, X=3 ou X=4.

3) Alors la probabilité qu'il y en ait un seul d'illettré, le mieux c'est d'imaginer ce que ça veut dire :
On va représenter les personnes par des O ou des X, X si il est illettré O sinon.
Dire qu'une personne est illettrée c'est dire qu'on a :
XOOO, OXOO, OOXO ou encore OOOX.
Dans chacun des cas tu peux calculer la probabilité.

Salut Sanji

1) Proba qu'ils soient tous illettrés.
Si l'on appelle les individus A,B,C,D pour que les quatre soient illettrés il faut que A soit illettré et B et C et D.

"et" traduisant la multiplication

Proba tous illettrés = Proba que A le soit* Proba que B le soit* Proba que C le soit* Proba que D le soit

Plutôt que ce que tu as fait "P(X=4)= 1/4x1/4x1/4x1/4= 6,561*10^-5 "

Or toutes ces probabilités sont les même 9%
Tu auras donc

Proba tous illettrés = (9%)^4

2) Une d'entre elles au moins est illettrée : ça veut dire soit 1 personne est illettrée soit 2 soit 3 soit 4.

L'évènement contraire c'est donc ? ( c'est plus facile de calculer à partir du contraire qu'à partir de tous ces cas possibles)

3) Loi

Tu n'as que deux résultats possibles ici : soit la personne est illettrée ( probabilité de 9% ) soit elle ne l'est pas ( P = 1- 9% )

Dans le cours quelle loi a été énoncée quand tu n'as que deux résultats possibles et que l'expérience est répétée plusieurs fois ( ici on a choisi quatre personne au hasard, 1 personne "correspondant" à une expérience ) ?

Coucou Sheva, j'aurais pas cru te voir ici.

J'ai oublié de préciser que le prof veut à chaque fois la valeur exacte.

J'ai fait (version peu rédigée) :
Soit X le nombre de personnes illettrées.

1) P(X=4) = 0.09^4=6,561x10^-5

2) 1- P(X=4)= P(X=0)
<=> P(X=0) = 1 - 6,561x10^-5 = 0.686
Donc P(X=0) = 0.686 et l'évènement "Au moins une personne est illettrée" correspond à 1-P(X=0)<=> 1-0.686 = 0.314
Donc l'évènement "Au moins une personne est illettrée" à pour probabilité 0,314.

3) Je trouvais pas, alors j'ai fait l'arbre:
0= 0.91^4 = 0,686
1= 4(0.09*0.91^3) = 0,271
2= 6(0.09²*0.91²) = 0,040
3= 4(0.09^3*0.91) = 2,654x10^-3
4= 0.09^4 = 6,561x10^-5
Le tout est égal à 0,9997 soit 1 en arrondissant chaque chiffre à 3 chiffres après la virgule.

Voilà ! Je sais que c'est chaud, mais si vous avez une meilleure méthode hésitez pas je prends mais par contre maintenant que j'ai mis les résultats essayez de la détailler pour démontrer le résultat histoire que je comprenne !

Ton raisonnement pour la question 2 est faux et tes calculs aussi car 1 - 6,561x10^-5 jamais de la vie ça fait 0.686.

Ah ouais en effet... Du coup je comprends plus rien.

P(X=0) = 1 - 6,561x10^-5 = 0.99993439
Donc P(X=0) = 0.99993439 et l'évènement "Au moins une personne est illettrée" correspond à 1-P(X=0)<=> 1-0.99993439 = 6,561x10^-5
Donc l'évènement "Au moins une personne est illettrée" à pour probabilité 6,561x10^-5.
C'est complètement faux du coup...

P(X=0) = (1-0.1)^4

Et moi dont

"2) 1- P(X=4)= P(X=0) "

Non en faisant cela tu enlèves juste le cas ou tu aurais 4 personnes illettrées ( X = 4 ).

Or l'ensemble des cas possibles pour ces quatre personnes c'est : soit 0 personnes sont illettrées, soit 1 l'est, soit 2 le sont, soit 3 le sont, soit 4 le sont.

comme "et" témoigne d'une multiplication ; "soit/ou" témoigne d'une somme.

C'est donc plutôt P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = Probabilité qu'au moins 1 personne soit illettrée donc.

P(X=0) + Probabilité qu'au moins 1 personne soit illettrée = 1

<=>
Probabilité qu'au moins 1 personne soit illettrée = 1 - P(X=0).

Mais tu n'as pas P(X=0) et tu ne peux pas l'avoir avec cette équation. (d'ailleurs tu l'as trouvé dans la question 3 je ne sais pas comment tu as fait )

Je te mets sur la piste

Reformules la question 1 et essayes de calculer la probabilité pour que les quatre personnes ne soient pas illettrées.

Ce que tu trouveras correspondra à P(X=0)

2)Tout d'abord, on calcule P(X=0) :
P(X=0)= 0.91^4 = 0,686
Afin de trouver la probabilité qu'au moins 1 personne soit illettrée, on soustrait ensuite 0.686 à 1 :
P(X>= 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,686 = 0.314
Donc la probabilité qu'au moins 1 personne soit illettrée est de 0.14.
C'est bien ça ?
Du coup le 3 j'avais bon avec mon arbre mais il y a pas une méthode plus simple ?

Oui c'est ça

Il y a effectivement une méthode plus simple, avez vous fait la loi binomiale ?

Ouais j'ai dit 0.1 mais c'est 0.09

J'ai compris, merci Prauron.
Ouais on l'as fait ! Quand j'était pas là....
Il a jamais voulu réexpliquer en plus.
Mais oui j'ai la formule à côté de moi. On peut m'expliquer?

Quand tu as une enquête, une expérience ou tout ce que tu veux dans ce sens là, qui ne peut aboutir qu'à deux résultat ( soit une chose, soit son contraire) et qu'elle ( l'expérience ) est répétée plusieurs fois ( n fois ) tu peux utiliser la loi binomiale.

Ici l'expérience c'est la personne de la population prise au hasard, les résultats possibles sont soit elle est illettrée, soit elle ne l'est pas, il n'y a pas d'autres cas possibles.

La répétition de l'expérience, correspond au nombre de personnes prises ( ici n = 4)

En posant X = k = nombres de personnes illettrées ;

0<(ou égal) k <(ou egal) n

p = probabilité que A se réalise
q = 1 - p = probabilité que le contraire se réalise

A = résultat étudié ( ici personne illettrée)

Tu as alors la formule du cours ( je ne sais pas quelles variables le prof a désigné mais en général c'est ça )

P(X=k) = Cn ^k (p)^k(q)^(n-k)

Maintenant essayes de calculer pour voir, tu tomberas sur les valeurs.

Par exemple prends k= 0 tu retrouveras P(X=0)

Et quand tu fais la somme des P(X= k) tu tombes sur le binôme de Newton ce qui justifie ce que j'ai écris plus haut :

" P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1
"

Ma formule à moi c'est:
P(X=k)=p^k x (1-p)^(n-k)(coefficient binomial n sur k sans barre de fraction)
Du coup, avec ta formule, Cn = ?
k je comprends.
p je comprends.
q je comprends.
n = ?

Ah non n=4 je me suis embrouillé sorry.

Cn ^k = coefficient binomial n sur k c'est juste une autre notation que j'ai employé.