C'est sûr cette histoire d'"asymptotiquement égal" ?

Si on part d'un ensemble à la con mais infini (par exemple l'ensemble des nombres qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs, je crois que c'est infini ça) pour générer le pseudo-groupe ?

Hazz > Les nombres parfaits on les connait pas trop trop... mais quand bien même oui, même en l'utilisant comme générateur je peux t'assurer qu'il sera asymptotiquement égal à kN.

Pour commencer on peut par exemple montrer que si notre partie contient deux nombres consécutifs alors elle est asymptotiquement égal à N.

En effet, tu m'as convaincu...

Mon intervention inutile aura eu le mérite de faire vivre le topic pendant la nuit

Avec tes indications Klaus j'arrive à montrer que :

- Si P contient deux entiers consécutifs n et n+1 alors P contient tous les entiers supérieurs à n(n+1) (donc est asymptotiquement égal à N)

- Si tous les éléments de P sont multiples d'un même entier d, alors en choisissant le plus grand d possible (le pgcd) on voit que P peut se réécrire P=dP' où P' est un ensemble vérifiant les même hypothèses que P mais dans lequel il n'existe pas de de diviseur commun à tous les éléments.

Il reste à montrer que si le pgcd de tous les éléments de P est égal à 1 alors P contient nécessairement deux nombres consécutifs mais je bloque pour le moment.

En fait c'est simple :

On note P={(xi)} où les xi sont rangés dans l'ordre croissant, et on pose dj=pgcd(x1,...,xj). Si les éléments de P n'ont pas de diviseur commun, alors dj=1 à partir d'un certain rang, donc il existe n tel que pgcd(x1,...,xn)=1.

On écrit l'identité de Bezout : Il existe a1,...,ak positifs et ak,...,an négatifs tels que :

sum(aixi)=1

alors en séparant les positifs et les négatifs on a sum(aixi) - sum(|aj|xj)=1 où la première somme varie est prise de 1 à k et la deuxième de k à n.

En notant m la première somme, alors la deuxième vaut m+1, et les deux étant des combinaisons linéaires à coefs naturels d'éléments de P, m et m+1 sont aussi dans P.

Jooord c'est très bien.

En résumé, soit les éléments de P n'ont aucun diviseur commun et à ce moment là P est asymptotiquement égal à N, soit tous ses éléments ont un diviseur commun et P est asymptotiquement égal à dN où d est le plus grand diviseur commun à tous ses éléments.