C'est un exercice classique de sup que de caractériser les sous-groupes de (Z,+), c'est-à-dire les parties de Z stables par addition et soustraction.

Dans (N,+), on ne parle pas de soustraction, mais l'on peut quand même se poser la question suivante : Quelles sont les parties de N stables par addition?

Pas d'idées?

Y'a les kN déjà comme pour (Z,+) et je suppose que là encore ce sont les seuls

Jooord, la partie P={5,6,7,8,9,10,...} est stable par addition mais n'est pas de la forme kN!

N/kN

Logical je ne comprends pas ta réponse...

Y'a les ka + kN déjà.

oui Prauron! Il y en a d'autres?

Je serais tenté de dire non...
On prend A une partie de N stable par +. Si A n'est pas réduite à {0}, il existe un plus petit élément a. Déjà A contient aN*. Si A = aN*, c'est fini, c'est de la forme a + aN. Sinon il existe un plus petit élément de A-{a}, disons b. Soit k = pgcd(a,b).
a = ka'. On montre que A = ka' + kN...

Je suis bien parti ou pas ?

Nan ça doit pas être suffisant.

En effet, il peut y avoir des "trous" dans cette progression arithmétique, genre A = {6,8,14,20,...}

J'ai rien dit, je suis fatigué moi...
Désolé pour les multiposts.

oui tu as bien vu le problème. En fait si on crée ce genre d'ensembles à la main élèment par élément on voit bien qu'on est libre de rajouter des nombres outsiders tant qu'on veut. Mais dès qu'on arrête d'intervenir, c'est-à-dire dès qu'on ne fait que calculer les sommes des nombres déjà écris, on voit que cela se "stabilise" ...

Soit k un entier naturel, le reste de la division euclidienne de k est à valeurs dans {0,1,...k-1}.

Si je prends a un entier qui a pour reste 0, j'engendre tout les entiers naturels multiples de k, si le reste vaut 1, j'engendre {k+1,2*k+2,3*k+3,...(k-1)*k+k-1} et tout leurs multiples, si il vaut 2, j'engendre {k+2,2*k+4,3*k+6,...(k-1)*k+2k-1) et tout leurs multiples, et etc...

Si on résonne par classe d'équivalence (que je note ici a~), on engendre avec k+p (p compris entre 0 et k-1 inclus) tout les nombres appartenant à p~ ainsi que (presque tout) les nombres appartenant aux classes d'équivalences q~ telles que p|q.
Il suffira ensuite de restreindre les groupes engendrés par chaque classe d'équivalence à partir du premier élément atteint dans chacune d'entre elles.

Sachant que l'on peut ajouter les éléments parcourus en changeant le k, ça restera stable.

raisonne* pas résonne*

Oui voilà, on peut rajouter des intrus, genre {6,8,10,11,12,14,...}.
Mais intuitivement au bout d'un moment on pourra plus rajouter d'outsider parce qu'asymptotiquement on arrive sur une partie de N non ? Je veux dire à force de rajouter des nombres il existe un élément a de A tel que A inter {a+N} = a+N.

Arg, c'est incomplet mon truc, bon je vais dormir.

Si on appelle k la plus petite distance entre 2 éléments de A, A est asymptotiquement égal à kN ?

Oui Prauron, une CNS est bien que A soit "asymptotiquement égal" à un certain kN. Une manière équivalente de l'exprimer est de dire que tous les éléments de A sont multiples d'un même entier sauf un nombre fini.

Bon maintenant il reste à montrer tout ça.

Correctif : la condition est nécessaire mais évidemment pas suffisante vu qu'il faut quand même contrôler ce qu'il se passe dans le lot fini de nombre qui ne fait pas partie de kN pour que le tout soit bien stable par addition.