P(X<Y) c'est l'intégrale sur R² sous la loi de (X,Y) de 1_{X<Y}, puis on utilise l'indépendance pour dire que P_(X,Y) = P_X tensoriel P_Y, et on utilise Fubini.

De 1_{x<y} plutôt.

Non pas vraiment ça prend une ou deux lignes.

Dans ce cas ça fait ce que j'ai écrit 2 messages plus loin, faut passer par la loi conditionnelle. Mais là on a plus de minoration évidente. Ou alors ça m'échappe, mais je pense qu'en l'absence d'indépendance on peut pas affirmer que P(t_A < t_B) >= 1/2. C'est pour ça que je cherchais un contre-exemple.

En effet l'énoncé ne donne pas l'indépendance. Mais Morphisme a montré que sous certaines hypothèses (indépendance et fonctions de répartition de classe C1), le résultat correspondant à l'intuition était vrai.

Voila une première ébauche de contre-exemple :

temps de B / temps de A

1,1 / 1,2
1,2 / 1,3
1,3 / 1,4
...
1,8 / 1,9
2,0 / 0,9
2,0 / 0,9

ici, A fait globalement des meilleurs temps que B, pourtant il n'a gagné que 2 fois la course.

Quelqu'un a-t-il réussi à construire un contre-exemple avec une variable aléatoire continue?

Je comprends pas bien ton contre-exemple. Le temps de A sachant celui de B est déterministe ? Quelles sont les probas associées ?

Qu'appelles-tu déterminisme?

Je prends deux variables aléatoires à valeurs dans {0,9 ; 1 ; ... ; 1,9 ; 2,0} (discrètes et finies donc) et la loi de proba :

P(Y=1,1)=0
P(Y=1,2)=1/10
P(Y=1,3)=1/10
etc.
P(Y=1,8)=1/10
P(Y=1,9)=0
P(Y=0,9)=1/5

Et l'on prend la loi X définie par X=Y+0,1 si Y < 1,9 et X=0,9 sinon.

On a bien deux variables aléatoires (discrètes et finies) et deux lois de probabilités qui ont un sens.

Quelques erreurs :

la loi de Y est donnée par :

P(Y=1,1)=1/10
P(Y=1,2)=1/10
.
.
.
P(Y=1,8)=1/10
P(Y=1,9)=0
P(Y=2,0)=1/5

Ce que je voulais dire c'est que le temps de X est entièrement déterminé par celui de Y.

Oui, en quoi cela te dérange-t-il?

On peut imaginer deux concurrents rivaux et un scénario du type

"Quand B court normalement, A aussi et ils arrivent toujours à un dixième d'écart, B en premier. Mais A a à chaque course une certaine probabilité de faire un super départ, ce qui a pour but de démoraliser B, et à l'arrivée le temps de A est parfait alors que celui de B est catastrophique"

C'est ce genre de scénario qui est modélisé par mon exemple fini donné au dessus, et aussi ce genre de scénario qu'on peut généraliser à une loi continue.

Non mais je demandais juste parce que j'avais pas bien compris comment t'avais construit ton contre-exemple.

Je trouve ça tiré par les cheveux comme scénario, mais peu importe, c'est l'intérêt mathématique qui compte.

Pour les lois continues j'y ai pas encore réfléchi.

Pourquoi tiré par les cheveux? Je le trouve assez réaliste au contraire, évidemment on peut modifier le "super départ" par quelque chose de plus réaliste mais qui créerait le même effet.

L'idée est juste de faire en sorte que A et B fassent globalement les même temps mais que B l'emporte, sauf dans de rares cas où A fait un super temps et B un très mauvais.

Alors A aura plus de chance de battre un certain temps que B mais aura très peu de chances de gagner. On peut assez facilement modéliser cette chose là en continu.

Avec des mélanges de lois uniformes ?

JCOMPRENDS KDALLE J'AI L'IMPRESSION DE REVENIR EN 3/2 ALLEZ VOUS FAIRE FOUTRE

Oui on peut en créer avec des lois uniformes pas trop moches.

Pour comprendre, rien de mieux qu'un dessin tout moche sous paint :

En bleu, les temps de A qui suivent une loi uniforme sur le segment bleu.

En rouge les temps de B liés à A par : temps de B = temps de A - epsilon si si le temps de A est dans le segment rouge du milieu, temps de B=symétrique du temps de A par rapport au milieu du segment si le temps de A est dans le segment extrême gauche (cela correspond exactement à mon scénario).

En choisissant bien les longueurs des segments, on a ce qu'on veut.

Correctif :

"En bleu, les temps de A qui suivent une loi uniforme sur LES segments bleus"

"temps de B = temps de A - epsilon si le temps de A est dans le segment BLEU du milieu"

Ah oui en effet.