Awai moi j'adore

L'ennui c'est que personne en sup' ne partage ce gout, et résultat je n'ai personne à qui faire partager ces merveilles

Vivement que je fasse des colles de maths

tungronul a bien vu le point délicat!

Super-castor, pour orienter ta réflexion, je te dis juste que tout repose effectivement sur la définition d'une limite et qu'il faut être très pointilleux sur cette dernière si l'on veut répondre rigoureusement à la question.

L'intuition me dit que la fonction n'admet pas de limite en 0, et que par conséquent elle ne peut pas être continue en 0.

Je vais regarder cette définition de plus près

Avec la topologie trace de Df il y a bien une limite non ?

Prauron > oui, et la fonction est continue!

C'est pas du jeu là

Tu as posé la question à tes élèves ?

Tu enseignes en quoi, et où ?

Prauron >Pas celle-ci non, je n'ai pas encore eu l'occasion de la poser (j'ai jamais donné de cours de topo, niveau spé )

Ah ? J'avais vu ça en spé moi.

Euh non en fait j'ai dit trace mais ça s'appelle topologie induite normalement.
La topologie induite par Df c'est la topologie dont les ouverts sont les intersections de Df avec des ouverts de R (ici muni de sa topologie usuelle).

Du coup le singleton {0} est bien un voisinage de 0 pour la topologie induite, puisque {0} = Df inter ]-1,1[ par exemple.

Ce génie

Prauron > Topologie induite et topologie trace ne sont pas définies de la même manière :

La topologie induite est la topologie la moins fine rendant l'injection canonique continue
La topologie trace est la topologie dont les ouverts sont la trace des ouverts comme tu l'as décrit.

Ce n'est pas inintéressant de montrer qu'en fait c'est la même chose. (désolé si tout le monde s'en fout mais ça me fait plaisir de me replonger dans la topologie!)

Bon concernant le problème, Prauron a bien répondu, mais Super-Castor aussi. En un sens la fonction n'est pas continue et en un autre elle l'est.

Cela dit, décréter que la fonction est continue peut sembler choquant. L'idée visuelle qu'on se fait d'une application continue c'est qu'on passe d'un point à un l'autre de son graphe sans lever le crayon. Formellement, cela se traduit par la connexité par arcs.

Du coup grande question : Dans le cas de Prauron la courbe est-elle bien connexe par arcs?

Parmi vos histoires de topologie auxquelles je ne comprends rien, je voudrais savoir si cette réponse est juste ou non

On peut considérer que oui, la fonction possède une limite en 0 puisque (et ça m'a pris du temps de retrouver ce détail de définition, qui est j'espère celui auquel tu faisais allusion Klaus) dans la définition d'une limite, le x doit appartenir non pas à {A-u;A+u} mais à {A-u;A+u} INTER Df, c'est à dire si on se place entre les racines de 2, x doit pouvoir égaler 0 et c'est le cas vu que f est définie en 0 !

C'est à peu près ça ou non ?

Je comprends

J'ai une petite question, qui relève plus d'une intuition surement foireuse qu'autre chose
Si j'appelle E et F les espaces de départ/d'arrivée de f, vu que E n'est pas "continu" (je sais pas s'il y a un mot pour ça, je veux dire que l'on ne peut pas définir de morceau de droite que relie tout couple de point de E), et que F en revanche m'a l'air "continu", une application continue devrait pas respecter cette "continuité" ? Je veux dire, un espace "non continu" devrait pas avoir comme image par une application continue un espace "non continu" ?

Désolé de poser tant de questions

En fait la question est de savoir si l'on s'autorise ou non à être égal à a lorsque l'on approche de a.

Cela donne lieux à deux définitions différentes de la limite, l'une qu'on pourra appelée "épointée" et l'autre "pointée".

Ce n'est pas plus naturel de choisir l'une ou l'autre mais cela change par contre les relations entre la notion de continuité et celle de limite.

super-castor > A mon avis, ce que tu sous-entends par "espace continu", c'est ce qu'on appelle en topologie un espace connexe, dans R ce sont les intervalles.

Et effectivement, l'image d'un intervalle par une fonction continue est nécessairement un intervalle, c'est le théorème des valeurs intermédiaires.

"Du coup grande question : Dans le cas de Prauron la courbe est-elle bien connexe par arcs? "

Avec la topologie induite, Df est connexe, donc son graphe est connexe par arcs comme graphe d'une application continue sur un connexe ?

Oui effectivement, son graphe est connexe par arcs pour la topologie induite, ce qui est assez déroutant!