Prauron (et Amandin) > R et C sont isomorphes en tant que Q-ev (nécessite l'axiome du choix) car ils admettent des bases de même dimension (les base de Hamel). Et cet isomorphisme d'ev est en particulier un isomorphisme de groupes.

Ok j'ai été voir sur wiki pour les bases de Hamel et j'ai compris mais c'est pas trop niveau MPSI, il s'est craqué notre prof!

Tu veux dire que R et C admettent tous deux une base dénombrable vus comme Q-espaces, et tu en déduis qu'ils sont isomorphes ?

Prauron, oui c'est bien ce que j'avance. Tu n'es pas convaincu?

Je veux bien te croire, mais là comme ça, ça me paraît pas évident que :
- R admet une Q-base dénombrable.
- deux espaces de dimension infinie dont les bases ont la même cardinalité sont automatiquement isomorphes (ça paraît effectivement naturel mais je suis toujours méfiant avec la dimension infinie...)

Ça se démontre facilement tout ça ?

Je n'ai pas tiqué la première fois, mais j'aurais dû lorsque tu as dit "base dénombrable".

R et C ne sont pas de dimension dénombrable sur Q mais de dimension indénombrable. Par contre ils ont la même dimension qui est celle de la puissance du continu (cardinal de R).

L'existence d'une base c'est une application de l'axiome du choix (ou plutôt sous sa forme "lemme de Zorn). Elle ne peut pas être dénombrable car sinon R (ou C) le serait aussi, et elle ne peut pas être plus grosse que R, donc son cardinal est exactement celui de R (modulo l'hypothèse du continu qu'on peut accepter ici).

Le fait que deux bases de même cardinal induisent un isomorphisme d'ev se démontre de la même façon que quand ce cardinal est fini : Les deux bases qui ont le même cardinal sont en bijection et par linéarité cette bijection induit un isomorphisme d'ev.

Ah oui en effet c'est tout bête.

Par contre faut y penser, voir les espaces comme Q-ev pour ensuite en déduire l'isomorphisme de groupe...