Salut,

j'ai un problème sur une des questions de mon DM, c'est la suivante :

Soit E un ensemble et G un groupe. On suppose qu'il existe une bijection de E dans G. Montrer que E peut être muni d'une structure de groupe.

Il n'y a pas de questions préliminaires et je ne vois pas du tout comment démarrer.

Une idée?

En fait je comprends pas pourquoi c'est vrai. N est en bijection avec Z par exemple qui est un groupe et pourtant N n'est pas un groupe donc la question serait fausse?

x*y = f^(-1)((f(x).f(y))

Hello,

attention, N n'est pas un groupe pour la loi d'addition usuelle, mais ça n'empêche surement pas de pouvoir mettre un loi sur N qui fasse de lui un groupe.

C'est là toute la question de ton exercice, montrer que si un ensemble est équipotent à un groupe alors on va pouvoir construire une loi qui fasse de lui un groupe.

Pour ça l'idée naturelle est la suivante : Pour additionner deux éléments dans notre ensemble, on les envoie dans le groupe par la bijection considérée, on les additionne dans le groupe, et on renvoi le résultat dans l'ensemble de départ par la bijection inverse.

Mon dernier paragraphe est parfaitement illustré par la réponse de Prauron!

Je précise un peu quand même.
f : E -> G la bijection en question.
. est la loi de groupe sur G.
Et je définis comme ça la loi * sur E.
Maintenant je te laisse montrer que E muni de cette loi a bien une structure de groupe.

Ahhh j'avais pas du tout compris le problème comme ça, je croyais déjà qu'on avait une loi sur E mais en fait en y réfléchissant ce serait idiot puisqu'on nous dit juste que E est un ensemble et non un magma.

Si j'ai bien compris, par exemple le neutre dans E pour la loi décrite par Prauron serait l'image réciproque par f du neutre de G.

Merci à vous deux. J'ai une autre question du même type (qui suit celle la dans le DM) je la pose ici ou je crée un autre topic?

C'est ça, e_E = f^(-1)(e_G).

Et tu peux poser ta question ici.

(et d'ailleurs tu peux remarquer qu'alors f est un isomorphisme)

Merci Prauron,

la deuxième question est la suivante qui je pense est du même accabit :

Montrer que l'on peut munir (R,+) d'une structure de C-espace vectoriel.

Là encore je suppose qu'on va utiliser le fait que R et C soient en bijection mais l'astuce qu'on a utilisée pour la question précédente ne marche plus si je ne m'abuse.

Ne serais-tu pas dans une grande prépa parisienne du Vème arrondissement? J'ai un collègue professeur (qui était d'ailleurs agrégatif en même temps que moi) dont c'est typiquement le genre de question qu'il pose à ses étudiants.

Pour cette question l'idée est effectivement la même mais en un peu plus tricky.

Ce qu'il nous faudrait ici, c'est non plus que R et C soient équipotent mais qu'ils soient isomorphes en tant que groupe additif. C'est cette partie qui est un peu délicate car pour le prouver on a besoin sauf erreur de l'axiome du choix.

Oui je suis bien dans une prépa du Vème et je pense bien avoir le prof auquel tu penses qui doit avoir approximativement le même âge que toi.

Par contre pour revenir à l'exercice je ne comprends pas en quoi le fait que R et C soient isomorphes en tant que groupes additifs nous aide en quoi que ce soit?

Le principe est alors le même :

On veut donner un sens à la multiplication d'un réel par un scalaire complexe. Pour cela, on envoie le réel dans C par l'isomorphisme additif, on multiplie l'image par le complexe et on revient dans R par l'isomorphisme réciproque.

Pareil tu vas pouvoir importer la multiplication externe de C avec cet isomorphisme. Et le fait que ça soit un morphisme va donner les bonnes propriétés de compatibilité.

Enfin je suppose j'ai pas vérifié.

Le point compliqué est étrangement la démonstration que (R,+) et (C,+) sont isomorphes.

Tel quel, la seule idée que j'ai en tête est de les considérer comme Q-ev et d'en regarder les bases, mais comme je l'ai dit ça nécessite l'axiome du choix.

Prauron, tu vois plus simple?

Non là je vois pas...

Ce sont des Q-ev de dimension finie, donc t'as l'existence de bases par l'axiome du choix en effet, mais comment tu montres qu'ils sont isomorphes ?

dimension infinie*

Ok je comprends comment on multiplie par le scalaire complexe mais je n'arrive pas à comprendre ce que tu racontes à propos de R et C isomorphes en tant que groupe?

[C:Q] = [C:R][R:Q] = 2*[R:Q] pour les cardinaux des bases ?

Ça me semble assez scabreux ce que j'écris.