"Alors comment en arrives tu à déterminer que la longueur de la courbe dans un échantillon de valeurs est égal à intégrale de sqrt(1+f'(x)^2) dx ? Je l'ai peut être étudié mais ca remonte à loin (10 ans environ). "

Le polynôme tu le connais non ?
Là c'est juste pour se donner une idée du nombre de tiges.

"Je vais peut être dire une connerie mais c'est pas plutôt
0=(x2-x1)²+(a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d-y2)²-L² "

Non, y1 tu le connais déjà, c'est y2 qui vaut a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d puisque f(x2)=y2.

" Alors là, j'ai décroché. Qu'entends tu par algorithme ? Je suis un poil paumé là. "

Ben tu dois déterminer une racine d'un polynôme assez lourd.
Cette racine, tu sais qu'elle est comprise entre x1 et x1+L d'après le fait que ta tige est contrainte à être de longueur L et qu'en plus tu veux la contraindre à "avancer".

L'algorithme pourrait se présenter ainsi :
On souhaite donc trouver x2 tel que 0=(x2-x1)²+(a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d-y1)²-L²
On pose g(x2)=(x2-x1)²+(a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d-y1)²-L²

La dichotomie consiste à trouver l'intervalle où la fonction change de signe et à l'affiner afin d'estimer un zéro de cette fonction, qui ici nous intéresse. La fonction est polynomiale donc continue donc pas de problème.
On évalue g(x1) et g(x1+L/2)
Si g(x1) et g(x1+L/2) sont de même signes, alors le zéro (x2) est après.
On sait maintenant que x2 appartient à l'intervalle x1+L/2<x2<x1+L
On évalue g(x1+3L/4), si ils sont de même signes, alors la racine est après et x2 appartient à x1+3L/4<x2<x1+L, sinon x2 appartient à x1+L/2<x2<x1+3L/4.

Et etc...
Ainsi, au bout d'un certain nombre d'itération, on peut obtenir un intervalle de longueur très petite où se situe notre racine. Et donc on pourra dire que cette racine est à peu près égale au milieu des bornes.
Vu la nature de ton problème, je pense que tu n'as pas à te soucier de savoir si tu as plusieurs zéros dans cet intervalle.

• anévrisme*

A meme pas 7h du mat, c'est dur.
Ca fait un paquet de temps que je n'ai pas fait de maths. 10 ans correspond au temps depuis lequel j'ai quitte le cursus "scolaire".
Mais ca ne me rebute pas.
Je vais regarder ca la tete posee.

Bon je vais t'expliquer le principe de la dichotomie de manière relativement générale puis sur un exemple simple.

On a une fonction f(x) continue et dérivable.
On souhaite trouver une solution de f(x)=0, ce qui s'appelle un zéro de la fonction.
On suppose que la fonction est monotone sur un certain intervalle [a;b] et que notre zéro se situe dessus, c'est à dire qu'elle est décroissante ou croissante seulement sur celui-ci.

Donc pour que f(x)=0, il faut que la fonction change de signe à cet endroit là.
Si elle est décroissante, avant elle sera positive et après négative et inversement.
Donc en fait, on évalue en deux points voir si la fonction change de signe et si c'est le cas, ça veut dire que notre zéro appartient à l'intervalle formé par le deux points où on a évalué. On peut ainsi tester à l'intérieur de cet intervalle et etc...

Un exemple :
f(x)=x^2-4
On sait que cette fonction à deux zéros -2 et 2 puisque f(-2)=f(2)=0
Essayons de trouver une approximation de la racine positive à l'aide de l'algorithme.
(je suis d'accord que ici ça n'a aucun intérêt, c'est pour l'exemple)

On suppose que l'on sait que la racine est entre 0 et 10 et on note R cette racine

f(0)=-4<0
f(5)=21>0

La fonction a changé de signe donc 0<R<5

f(0)=-4<0
f(5/2)=2.25>0

La fonction a changé de signe donc 0<R<2.5

f(0)=-4<0
f(5/4)=~-2.43<0

La fonction n'a pas changé de signe donc 1.25<R<2.5

f(1.25)=~-2.43<0
f((1.25+2.5)/2)=f(1.875)=~-0.48<0

la fonction n'a pas changé de signe donc 1.875<R<2.5

Et etc etc...
Bien sûr, ça il vaut mieux que tu le fasses faire par un programme sur l'ordi.