Iv ` Si le couple existe il est unique. `

On peut dire ça à toutes les sauces, en faire une routine et passer à côté de quelque chose de subtil (je sais que toi t'es un vrai qui fait attention et qui cherche pas à pipoter) mais imagine un prepa qui abuse et ne se rend pas compte qu'il a une unicité non triviale à prouver...

non mais le raiso analyse synthèse est basique et franchement je trouve ma démo "plus jolie" qu'une résolution de 3 équations

bref je le refais mieux... Montrer que F et G sont supplémentaires revient à dire que pour tout P il existe un unique couple (f,g)€FxG tel que P = f+g

Analyse : On suppose qu'il existe f € F, g € G tel que P = f + g
Comme g € G, il existe a réel tel que g = a.X.
On a donc P(1) = f(1) + a = a car f(1) = 0 puisque f € F.

On a ainsi g = P(1)X et ainsi f = P - P(1)X.

Conclusion : si un tel couple f,g existe alors forcément f = P - P(1)X et g = P(1)X.

(Analyse = unicité)

Synthèse : Posons ainsi f = P - P(1)X et g = P(1)X
On remarque que f + g = P, que f € F et g € G.

(Synthèse = existence)

Ainsi il existe bien un unique couple solution et F et G sont supplémentaires dans E.

Je vous remercie beaucoup! Je pense que j'ai compris, je me confirmerais ça demain avec des exos
J'ai compris les deux méthodes donc ça me plait bien,
Bonsoir!