Bonsoir, j'ai un dm sur les espaces vectoriels, et je bloque sur la fin, et je suis pas sur de mes réponses, ça serait sympa si quelqu'un pouvait vérifier et m'aider a terminer !

: On pose E = R2[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal
à 2.
1. Justifier que E est un sous-espace vectoriel de R[X].
2. Déterminer une famille de polynômes qui engendre E.
3. Posons F = {P appartenant à E, P(1) = 0} et G = Vect ({X}).
(a) Montrer que F est un R-espace vectoriel.
(b) Justifier que G est un sous-espace vectoriel de E. Donner l’expression des polynômes de G.
(c) Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.

Pour la 1) Polynome nul appartient, stable par combinaison linéaire, pas de soucis.
Pour la 2) j'ai pas fais beaucoup d'exemples mais je pense que c'est (1,X,X^2)
3)a) Polynome nul appartient, stable par combinaison linéaire.
b) Vect( {X}) intersection des sev de E contenant {X}. or l'intersection de plusieurs sev est un sev. Donc G est un sev.
G=Lambda2X+Lambda1X+Lambda0=(Lambda2+Lambda1)X+Lam
bda0
(ça je pense que je me suis planté)
c)Je gère par trop l'analyse-synthèse donc je suis parti pour démontrer que F inter G = Vecteur nul
E=F+G mais là je bloque..
Il me manque donc la fin de la question 3)b) et la 3)c)

b) Vect(X) c'est l'ensemble des combinaisons linéaires en X donc c'est les a.X avec a € R

c) Analyse : soit P = f + g avec f,g dans F et G
Il existe a tel que g = a.X. f(1) = 0 donne a = P(1)

Donc g = P(1)X et f = P - P(1)X. Si le couple existe il est unique.

Synthèse : on pose f = P - P(1)X et g = P(1)X
On a f + g = P, f(1) = 0 donc f € F et g € G donc c'est bon

Je t'avoue que je ne comprend pas trop l'analyse-synthèse, pourtant vu comme ça, ça à pas l'air très compliqué, tu pourrais m'expliquer ?

Sinon je te remercie de m'avoir répondu, j'ai vu où j'avais faux pour la 3)b)

C'est quoi cette démarche d analyse synthese ?

C'est pas plus simple de faire intersection vide et somme normale ?

Je connais les deux, donc peu m'importe du moment que je comprend ce que je fais

ptizap
Posté via mobile le 4 mars 2013 à 20:44:03
C'est quoi cette démarche d analyse synthese ?

C'est pas plus simple de faire intersection vide et somme normale ?

c'est plus simple mais ça reste tiré du chapeau. c'est aussi sympa de voir à la main pourquoi ça marche

Pour montrer que F+G=E
Prends un poly quelconque de E ax²+BX+c

On veut montrer qu'il existe un poly de F (A * x) et un poly de G ( la condition p(1)=0 equivaut à la somme des coeff de tout poly de G vaut 1)

Écris l'égalité en explicitant le polynôme de G

Tu obtiens un système de 4 équations a 3 inconnues

la condition p(1)=0 equivaut à la somme des coeff de tout poly de G vaut 1
Je t'avoue ne pas avoir compri ta parenthèse :/

Si je prends un polynôme ax² + bx +c

Et que je remplace x par 1 alors puisque p(1)=0

a*1 + b*1 +c =0 ie a+b+c=0

C'est plus clair

Ah oui je le préfère écris comme ça
aX²+bX+c=a+b+c+aX

aX²=0
bX=aX
c=a+b+c
a+b+c=0

Donc a=b=c=0
je me suis pas planté?
J'ai l'impression d'être à coté de la plaque

Non tu prends un polynôme de G qui est quelconque: il n'est pas égal à celui de E

ax² +bx +c = Ax + ex² + fx + g avec la condition e +f+g = 0

Identifie les coeffs (tu dois trouver A e f et g en fonction de a b et c)

Ah voilà je me disais aussi que j'y étais pas !
Bon j'ai résolu le système, il est pas trop contraignant

Ensuite il faut que je démontre que F inter G = 0
Tu me conseilles de partir comment?
J'ai compris pour la première partie, j'ai l'aprem de libre demain, je retravaillerai tout ça

Bah tu considères un poly P qui est la fois dans F et G
Ie P s écrit Ax et A*1=0 d'où A =0 d'où P = 0

Et tu vérifies que 0 appartient à F et G

D'accord, moi de mon coté j'étais parti sur ça,
soit R appartenant à F inter G
R appartient à G donc il existe lambda tel que R = lambda(0,X,0)
R appartient à F donc il existe lambda appartenant à R tel que R = Mu(1,X,X²)
Et P(1)=0
en remplaçant on a 0 + Mu + 0 = 0
D'ou Mu=0
Donc F inter G = {0,0,0}

Je voulais savoir si c'est faisable, sinon je reprend ce que tu m'as donné, en te remerciant, ainsi que iv555 pour votre aide

Je pense quand même que ma méthode est plus simple mais bon

r appartient à F donc il existe mu appartenant à R tel que R = Mu(1,X,X²)

Il faut que tu m'expliques comment tu obtiens ça ...

Iv555 : ça fait pipo l'unicité avec l'analyse synthèse

Iv555 Si tu voulais bien me l'expliquer aussi

r appartient à F donc il existe mu appartenant à R tel que R = Mu(1,X,X²)

J'ai essayé de reprendre une méthode que j'ai vu.
(1,X,X²) vient de la question 2) et Mu c'est pour rajouter la CL

Je crois que t'as bien compris les familles génératrices

1,X,X²) est une famille génératrice

Pour tout poly P de E il existe lambda ET mû ET nu tel que P = lambda*X² + mu * X + nu *1

Mais lol j'ai juste écrit la définition d'un poly de deg 2

Iv555 : ça fait pipo l'unicité avec l'analyse synthèse

-_- t'es sérieux...

Arf, je me suis emmêlé les pinceaux..
Mais j'ai compri ce que t'a fais, j'essayais juste de le faire par ce que j'avais compri, je vois qu'il va falloir que je retravaille c'est tout