C'est une fonction composée, goh(x) = g(h(x)) c'est juste une notation

Pour le tableau, ben tu sais qu'il faut étudier le signe de f'' pour en déduire les variations de f'.

Puisque le dénominateur (x² + 1)^3 > 0 sur R, f'' est du signe du numérateur sur R.

Donc tu n'as qu'à faire un petit tableau (difficile de le faire ici), où tu étudies le signe de 2x sur R (négatif sur R-, positif sur R+ évidemment), et celui de x² - 3 (négatif entre ses racines x1 = -sqrt(3) et x2 = sqrt(3), positif en dehors). Tu en déduis (encore une fois, fais le petit tableau c'est le plus facile et le plus rapide) que f est négative sur ]-oo ; -sqrt(3)] puis positive sur [-sqrt(3) ; 0] puis négative sur [0 ; sqrt(3)] puis enfin positive sur [sqrt(3) ; +oo[. Donc f' est croissante là où f est positive et décroissante là où f'' est négative...

Gadinho felicitation pour ton calme.

Merci pour ton aide.
Pour la dernière question je trouve que f(x) est convexe car ses tangentes sont situées en dessous de la courbe et les 3 points d'inflexions (abscisses) sont -3;0 et 3.
Juste ?

De rien

Pour cette question, désolé je passe la main, je sais pas du tout ce que tu as pu voir comme définition d'une fonction convexe mais je te conseille de regarder ton cours.